Desarrollo en serie de Taylor: $\sin x = x$?

Question

Serie de Taylor se usan para expandir una función a una serie de funciones que a veces hace que los cálculos sean más fáciles.

El más términos de una serie consideramos la más precisa que la solución sería.

A veces una aproximación, es aceptable, cuando sólo los dos primeros términos de la serie considerada.

Diciendo que, si tenemos en cuenta $\sin x = x$ (tomando sólo el primer término), habría que decir, que $\sin x$ es aproximadamente igual a $x$ ? Si es así, ¿eso qué significa, cómo $\sin x$ puede ser igual a $x$? Si no, ¿dónde estoy equivocado en mis argumentos?

Answer 1

El más términos de una serie consideramos la más precisa que la solución sería.

Sí, ver a continuación, donde la línea negra es $\sin x$, el rojo es el uso de la aproximación de $x$, el verde con $x-x^3/3!$ y el azul con el $x-x^3/3!+x^5/5!$

A veces una aproximación, es aceptable, cuando sólo los dos primeros términos de la serie considerada.

Sí, aún por un solo término, es difícil distinguir $\sin x$ $x$ cuando parcela en $[-0.5,0.5]$.

Diciendo que, si tenemos en cuenta el pecado(x) = x (tomando sólo el primer término), habría que decir, que el pecado de x es aproximadamente igual a x ? Si es así, ¿eso qué significa, cómo el pecado de x puede ser igual a x?

Sí, significa que son aproximadamente iguales. Los matemáticos y los científicos utilizan la notación big O para indicar el orden de magnitud del error. E. g. $$\begin{align} \sin x &= x + O(x^3)\\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)\\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + O(x^7) \end{align}$$

Esto significa que cuando se utiliza$x$, por ejemplo, para aproximar $\sin x$, los errores que te dan son proporcionales a $x^3$ en el peor de los casos, y tan largo como $x$ es cercana a cero, $x^3$ será pequeño y no vale la pena preocuparse.

Formalmente, con la serie de Taylor se puede cuantificar el error, o el resto, en términos de algunos de los múltiples de la siguiente término en la serie (aunque este múltiplo es difícil de encontrar de forma explícita).

Answer 2

No es difícil probar que si $x \neq 0$,$\sin{x} \neq x$. Gráficamente uno ve

                      

Cualquier suficientemente suave de la función, tales como $\sin{x}$, es aproximadamente igual al primer término en su serie de Taylor cerca de donde se encuentra centrada. La serie de Taylor para sinusoidal (centrado sobre $x=0$) es

$$\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots. $$

Así que tenemos que

$$ \sin{x} \approx x.$$

Esta aproximación es bastante buena para valores pequeños de a $x$. Como tal, physicsts somtimes utilizar este hecho para hacer sus ecuaciones diferenciales son más fáciles de resolver. La llaman la aproximación de ángulo pequeño.

Por añadir más términos, se obtiene una mejor aproximación.

Answer 3

Lo es, pero muy cercano a cero, esto es, si usted podría mirar a la función seno en el origen, con una lupa, se vería como una línea recta (que yo.e la función de $x$). El siguiente término en la expansión da una idea del error de la aproximación y también se puede estimar el rango de la $x$ variable donde esta aproximación es buena $$ |x|>>\left|-\frac{x^3}{6}\right| \quad \rightarrow \quad x<<\sqrt{6} $$