Estudiar la convergencia de la siguiente serie como $\alpha>0$
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{n^{\alpha}}^{n^{\alpha+1}}\log^2\left(1+\sin\frac{1}{x}\right)\,dx$$
Es la primera vez que hago un ejercicio con una serie definida por una integral y sostengo que es igual a estudiar la convergencia de la integral impropia (¿no?):
$$\lim_{N \to +\infty}\int_{1^{\alpha}}^{N^{\alpha+1}}\log^2\left(1+\sin\frac{1}{x}\right)\,dx$$
o, ¿tengo que seguir un camino diferente?
Tenga en cuenta que para los pequeños $\epsilon$ , $$\log^2 (1+\epsilon) \approx \epsilon^2$$ y $$\sin \epsilon \approx \epsilon$$ por lo que para los grandes $x$ , $$\log^2 \left( 1 + \sin \frac{1}{x} \right) \approx \frac{1}{x^2}.$$ Por lo tanto, $$\int_{n^\alpha}^{n^{\alpha+1}} \log^2 \left( 1 + \sin \frac{1}{x} \right)\, dx \approx \int_{n^\alpha}^{n^{\alpha+1}} \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{n^\alpha} - \frac{1}{n^{\alpha+1}}.$$ Tenga en cuenta que $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ converge si $\alpha > 1$ pero $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha+1}}$ siempre converge, por lo que tenemos convergencia si $\alpha > 1$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Te equivocas al decir que la segunda expresión es equivalente a la primera, es decir, que puede haber solapamientos en los rangos cubiertos por cada término.
1 votos
Al menos para los pequeños $\alpha$ los intervalos de integración en la suma siempre se solaparán significativamente, por ejemplo, para $\alpha = 1$ se obtiene $[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], \ldots$ , por lo que la suma siempre será mucho mayor que su integral y puede presentar un comportamiento de convergencia diferente.