Perdóname por lo que es probablemente una simple pregunta, soy nuevo en este campo. Estoy estudiando la Hirzebruch superficies y sus dimensiones superiores análogos $M_{n,k}$, que se define para ser la proyectiva de la línea de paquetes
\begin{equation} M_{n,k}=\mathbb{P}(\mathcal{O}(-k)\oplus\mathcal{O}(0)) \end{equation} más de $\mathbb{CP}^{n-1}$. Aquí, $\mathcal{O}(-1)$ es el tautológica de la línea de paquete, y se $\mathcal{O}(0)$ el trivial de la línea de paquete, tanto por $\mathbb{CP}^{n-1}$. Podemos definir dos divisores en $M_{n,k}$, es decir, $D_0$ a ser la sección con cero $\mathcal{O}(-k)$ componente y $D_\infty$ a ser la sección con cero $\mathcal{O}(0)$ componente. Estos dos divisores, a continuación, determinar holomorphic línea de paquetes de $[D_0]$ $[D_\infty]$ en la forma habitual.
Pero a una línea bundle $L$ en un complejo colector de $X$, podemos asociar a su primera clase de Chern $c_1(L)$, lo que yo entiendo es el cohomology de clase en $H^{1,1}(X;\mathbb{R})$ determinado por la curvatura de la forma $R_h$ de cualquier Hermitian métrica $h$ $L$ (esto es independiente de la $h$).
Yo soy, a continuación, dijo que el cohomology clases de $c_1([D_0])$ $c_1([D_\infty])$ span $H^{1,1}(M_{n,k};\mathbb{R})$, y que para cualquier Kahler clase $\alpha\in H^{1,1}(M_{n,k};\mathbb{R})$ (es decir, cualquier clase para la cual un Kahler métrica/formulario puede ser elegido como representante), uno puede encontrar constantes $0<a<b$ tal que \begin{equation} \alpha=\frac{b}{k}[D_\infty]-\frac{a}{k}[D_0]. \end{equation}
Me temo que no tengo absolutamente ninguna idea de cómo se puede mostrar esto, o por qué puede ser obvia. Soy consciente de que hay otras maneras de definir la 1ª clase de Chern de una línea de paquete, y tal vez uno de estos puede ser más útil. Cualquier ayuda sería muy apreciada!
