¿El límite de una secuencia descendente de conjuntos conectados todavía conectado?

Question

Dada una secuencia descendente de los conjuntos de

$$ F_1\supset F_2\supset\cdots F_n\supset\cdots $$ en el que cada una de las $F_i$ está conectado. Me pregunto si el límite establecido

$$ F=\bigcap_{i=1}^\infty F_i $$ todavía está conectado? Creo que lo es, pero no puede hacer una prueba. Alguien puede ayudar?

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Actualizado:

Samuel ha mostrado un ejemplo contrario.

Así que ahora me pregunto ¿puedo añadir algunas limitaciones tales que la conclusión se mantiene?

Pido a este problema porque cuando miro el Princeton Compañero de Matemáticas，capítulo IV.14. La dinámica, la sección 2.8 El Conjunto de Mandelbrot M, hay las siguientes palabras:

De lo anterior se desprende que como $t$ se aproxima a cero, el equipotenciales de potencial de $t$, junto con su interior, se acerca más y más a M: eso es, M es la intersección de todos los conjuntos. Por lo tanto, M es un conectado, cerrado, acotado subconjunto del plano.

Me pregunto por qué tal argumento muestra $M$, el conjunto de Mandelbrot, está conectado.

Answer 1

No. Deje $F_n$ a ser el avión $\mathbb R^2$ menos que la línea de $\{0\}\times(-\infty,n)$.

Agregado: es cierto Que todas las $F_n$ son subconjuntos compactos de $\mathbb R^N$. Supongamos lo contrario: entonces existen abiertos disjuntos conjuntos de $A,B$ tal que $F$ contiene puntos de ambos $A$ $B$ $F$ está contenido en $A\cup B$. Ahora considere el $F_n\cap (\partial A)$. Desde cada una de las $F_n$ está conectado, y contiene puntos en ambas $A$$B$, la intersección $F_n\cap (\partial A)$ debe ser no vacío, y por otra parte, para $n=1,2,3,\ldots$ es una disminución de la secuencia de conjuntos compactos, y por lo tanto, la intersección de todos los $F_n\cap (\partial A)$ es no vacío. Contradicción. Por lo tanto $F$ está conectado.