Demostrar que $PX+PY=PZ$

Question

En triángulo $ABC$ , dejemos que $D$ y $E$ sean los pies de los ángulos-bisectores de los ángulos $A$ y $B$ . Dejemos que $P$ sea un punto en $DE$ . Que los pies de las perpendiculares sobre $CB$ , $AB$ y $CA$ sea $X$ , $Y$ , $Z$ respectivamente. Demostrar que $PX+PY=PZ$ .

Hasta ahora se ha visto que $ZCXP$ , $ZCBY$ , $ZAYP$ son cíclicos y han intentado usar Pitágoras en todos los triángulos rectos.

Answer 1

Esto es un poco complicado porque se necesita mucha construcción.

Producir PZ para cortar BC producido en N. Producir PX para cortar AC producido en U.

A través de P, dibujar una línea paralela a AB que corte a BC en $B_1$ BD en B', AE en A' y AC en $A_2$ .

A través de A', dibujar una línea paralela a AC que corte a AB en $A_1$ , PU en M, BC en $C_2$ y PN en Z' (tal que $\angle PZ’C_2 = 90^0$ ). Después de unirnos a MN, descubrimos que $C_2$ es el ortocentro de $\triangle PMN$ y por lo tanto, $PC_2$ producido es perpendicular a MN en J.

A través de B', dibujar una línea paralela a BC que corte a AB en $B_2$ PU en H (de manera que $\angle UHB_2 = 90^0$ ), $A_1C_2$ en C', y PZ producido en K. Después de unirse a UK, encontramos que $\triangle PUK$ tiene el ortocentro situado en $C_1$ .

A través de la construcción anterior, tenemos:-

(1) $AA_1A’A_2$ , $BB_1B’B_2$ et $CC_1C’C_2$ son rombos;

(2) $\triangle A’B’C’$ es una miniatura de $\triangle ABC$ con I sirviendo como centros de ambos triángulos y por lo tanto CC'I es una línea recta (prueba saltada) que corta a PJ en Q y a PM en R; y

(3) NMXZ' es cíclico.

De (1), $\theta = \theta’$ implica $\phi = \phi’$ a través de la congruencia.

De (3), $\phi = \phi_1$ . Entonces, MN // XZ'.

Además, todos los ángulos marcados en rojo son iguales. Esto significa que PX = PZ'.

También a partir de (1), como estos rombos tienen altitudes iguales, tenemos PY = = ZZ'

El resultado requerido es el siguiente.