Problema en Determinante.

Question

P.

$$\text{If } \Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{array}\right|,$$ $$\text{ then the value of }$$ $$ \left|\begin{array}{ccc} a^2 - bc & b^2 - ca & c^2 - ab \\ c^2 - ab & a^2 - bc & b^2 - ca \\ b^2 - ca & c^2 - ab & a^2 - bc \end{array}\right| \text{ is:}$$

Exprese la Respuesta en términos de $ \Delta $.

Mi Intento - me trató de Reorganizar el Segundo determinante (sumando o restando particular filas o Columnas) de tal manera que después de esto, va a ser fácil para mí escribir el segundo determinante como el producto de dos o más de los otros factores Determinantes de la que podría ser la misma de $\Delta$. Pero Encontré que la reorganización de la Segunda Det. No fue una buena elección ya que parece nunca simplificar sí mismo!! Así, traté de Expresar la Segunda Det. directamente como el producto de dos o más Det. ! Todavía no era ningún uso. Yo finalmente llegó a la conclusión de que el Segundo Detonante. No puede ser expresado como un producto sin Reordenamiento ! Pero Reorganizar lo hace más espeluznante!

Podría usted por favor me Guía a modo de Reorganizar de manera que fácilmente podría ser expresado como un producto? O es su Otro Camino para este tipo de Problema? Por favor, hágamelo saber!

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Observe que

$$ \begin{bmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a% \end{bmatrix}% ^{-1}=\frac{1}{\Delta }% \begin{bmatrix} a^{2}-bc & c^{2}-ab & b^{2}-ac \\ b^{2}-ac & a^{2}-bc & c^{2}-ab \\ c^{2}-ab & b^{2}-ac & a^{2}-bc% \end{bmatrix}.$$ Entonces, desde el $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ $\det(cA)=c^{n}\det(A)$ para una matriz de $A$$n\times n$, tomando determinantes de ambos lados obtenemos $$ \frac{1}{\Delta}=\frac{1}{\Delta ^3}% \det\left(\begin{bmatrix} a^{2}-bc & c^{2}-ab & b^{2}-ac \\ b^{2}-ac & a^{2}-bc & c^{2}-ab \\ c^{2}-ab & b^{2}-ac & a^{2}-bc% \end{bmatrix}\right),$$ así $$ \det\left(\begin{bmatrix} a^{2}-bc & c^{2}-ab & b^{2}-ac \\ b^{2}-ac & a^{2}-bc & c^{2}-ab \\ c^{2}-ab & b^{2}-ac & a^{2}-bc% \end{bmatrix}\right)=\Delta^2.$$

Por último, observe que $\det(A)=\det(A^T)$.

Answer 2

Tome $A$ la matriz dentro de la determinante para que $\Delta=\det(A)$. La transposición de la nueva matriz es el llamado clásico adjunto de la matriz de $A$ para los que tenemos: $$ \mathrm{adj}(a)=\det(A) I. $$ Por tanto, el determinante es igual a $\Delta^{k-1}$ donde $k$ es la matriz de dimensión y es igual a $3$ aquí.

Answer 3

Para completar la respuesta dada por @mzp, tenga en cuenta que la matriz de $$ \left(\begin{array}{ccc} a^2 - bc & b^2 - ca & c^2 - ab \\ c^2 - ab & a^2 - bc & b^2 - ca \\ b^2 - ca & c^2 - ab & a^2 - bc \end{array}\right) $$ es $$ \pmatrix{1&0&0\\0&0&1\\0&1&0}\a la izquierda( \matriz{a^{2}-bc & c^{2}-ab & b^{2}-ac \\ b^{2}-ac & a^{2}-bc & c^{2}-ab \\ c^{2}-ab & b^{2}-ac & a^{2}-bc} \right)\pmatrix{1&0&0\\0&0&1\\0&1&0} $$ y que el determinante de a$\pmatrix{1&0&0\\0&0&1\\0&1&0}$$-1$.