Dudas sobre $\epsilon$ - $\delta$ definición de límites

Question

Estoy aprendiendo $\epsilon$ - $\delta$ definición de límites. Estaba confundido en algunos puntos y leí algunas de las respuestas relacionadas en este y otros sitios. Pero no he podido encontrar discusión sobre ninguna de estas preguntas en ningún sitio, así que las planteo aquí. Las preguntas son

1. ¿Por qué debería $|x-c|<\delta$ implica $|f(x)-L|<\epsilon$ ? ¿No puede ser al revés? Es decir, sería una definición errónea:

   " Deja $f$ sea una función definida en un intervalo abierto alrededor de $c$ (excepto posiblemente en $c$ ). Entonces, si para cualquier $\epsilon>0$ existe un $\delta > 0$ tal que $0< |x-c|<\delta$ siempre que $|f(x)-L|<\epsilon$ Entonces $$\lim_{x \to c} f(x) = L$$ "?

2 ¿Por qué elegimos intervalos abiertos en torno a $x$ y $f(x)$ en lugar de las cerradas (es decir $x \in (x-\delta,x+\delta),f(x) \in (f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon)$ en lugar de $x \in [x-\delta,x+\delta],f(x) \in [L-\epsilon,L+\epsilon]$ ) ?

3. ¿Por qué $\delta$ y $\epsilon$ ¿se elige para que sea mayor que cero? ¿No podemos elegir que sean menores que cero y especificar los límites de $x$ y $f(x)$ así: $\delta < x-c< -\delta$ y $\epsilon < f(x) - L < -\epsilon$ ?

Mi opinión es que la respuesta a los puntos 2 y 3 debería ser: Es sólo por convención . Pero no tengo ninguna fuente que lo respalde. No he podido encontrar ninguna discusión sobre esto en ningún sitio. Ni en mi libro de texto, ni en Wikipedia u otros sitios.

¿Cuáles son las respuestas a estas preguntas?

EDIT: Si alguien dice que también podemos hacer las elecciones que sugerí en los puntos 2 y 3 (en lugar de las que hacemos actualmente), y que por tanto estas últimas son sólo convenciones históricas, por favor cite la fuente de su afirmación.

Answer 1

A la 2: También puedes hacerlo. No importa si trabajas con intervalos cerrados o abiertos siempre que seas consistente. Es equivalente.

a 3: Es porque se toma el valor absoluto de la diferencia que siempre es un no negativo. Negativo $\delta$ y $\varepsilon$ no tendría mucho sentido aquí.

A la 1: A grandes rasgos, tomar límites significa que cuando se varía un poco en $x$ cerca de $c$ sólo debería variar un poco en $f(x)$ alrededor de $L$ también. Por eso tenemos una implicación aquí. Puedes hacer un dibujo para entender lo que está pasando aquí.

Answer 2

En cuanto a la definición de límite que sugieres, puedo usarla para demostrar alguna tontería, qué tal lo siguiente: Poner $f(x) = x$ . Voy a probar $$\lim_{x \to 1} f(x) = 2 $$

Según su definición se me pide que demuestre que $|x-2|<\epsilon \implies |x-1|<\delta$ .

Dejemos que $\epsilon$ se le dará. Tome $\delta = \epsilon + 1$ . Entonces \begin{align} |&x-2|<\epsilon \\ \implies -\epsilon <& x-2 < \epsilon \\ \implies -\epsilon+1 <& x-1 < \epsilon + 1 \\ \implies -\epsilon -1 < -\epsilon+1 <& x-1 < \epsilon + 1 \qquad \text{since } -1 < 1 \\ \implies |&x-1|< \epsilon + 1 = \delta \end{align}

Está claro que esto no es lo que quieres de los límites. Así romperás las matemáticas.

Answer 3

Recomiendo una mente cuestionadora como la suya. Así es como se aprenden las matemáticas.

(1) No podemos definirlo así porque significaría otra cosa. Significaría que por muy cerca que esté $f(x)$ es $L,$ podemos encontrar un único $\delta>0$ para que $x$ se mantiene fijo dentro de $\delta$ de $c.$ Claramente, $x$ no se acerca $c$ ni nada aquí, por lo que esa sugerente flecha no significa nada aquí, o en el mejor de los casos es engañosa. Además, esta definición no capta lo que queremos decir con el límite de una función cuando la variable independiente se acerca a un punto fijo $c.$ La idea es que dado cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar un $\delta>0$ (para cada $\epsilon>0,$ es decir, este $\delta$ no tiene por qué ser el mismo para todos los $\epsilon$ ) para que siempre que $x$ está dentro de $\delta$ de $c,$ debemos tener $f(x)$ para estar dentro de los límites preasignados $\epsilon$ de $L.$ Básicamente, queremos que el comportamiento de $f(x)$ cerca de $L$ para ser controlado por el comportamiento correspondiente de $x$ cerca de $c.$

(2) En primer lugar, debo mencionar que es alrededor de $c$ y $L$ que requerimos intervalos abiertos en los que $x$ y $f(x)$ respectivamente. Bueno, una de las razones es que (al igual que no requerimos que $f$ tienen un valor en $c$ ) tampoco queremos pensar en los límites. Es decir, queremos subrayar que sólo nos preocupa cómo $f$ se comporta cerca de $c$ -- no en $c$ o en los límites del intervalo. Así, aunque la función esté definida en el cierre del intervalo, preferimos utilizar cualquier intervalo abierto sobre $c$ (de hecho, se suele considerar como un muy pequeño intervalo abierto para enfatizar la localidad de esta idea).

(3) No elegimos lo negativo $\epsilon$ y $\delta$ porque pensamos en ellas como distancias, y no queremos que nuestras distancias sean negativas (en el análisis superior, formalizamos estas ideas definiendo un espacio métrico como un conjunto junto con una función de distancia; uno de los requisitos de esta función es que sea positiva-definida; es decir, todas las distancias son positivas excepto cuando los puntos coinciden, cuando la distancia desaparece).