$AB-BA=A^k$ , $A$ no es invertible

Question

Deje $k\in\mathbb{N}$ $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ tal que $AB-BA=A^k$. Mostrar que $A$ no es invertible.

Me puede mostrar el reclamo si $k=1$: Suponga que el $A$ es invertible. Tenemos $AB=(I_n+B)A$, lo $B=A^{-1}(I_n+B)A$. Tomando la traza se da una contradicción.

¿Cómo puedo proceder para el caso general?

Answer 1

El uso de la misma idea: $A^{-k}(AB-BA)=I_n$ implica que el $A^{1-k}B-A^{-k}BA=I_n$, podemos deducir que:

$A^{1-k}B=I_n+A^{-k}BA$ $tr(A^{1-k}B)=Tr(I_n)+Tr(A^{-k}BA)$ , ya que el $Tr(A^{1-k}B)=Tr(A^{-k}BA)$ tiene la contradicción.

Answer 2

Multiplicando por la izquierda por a $A$ tenemos

$$A^{k+1}=A^2B-ABA=A^2B-BA^2-A^{k+1}$$ lo que da

$$A^2B-BA^2=2A^{k+1}$$ y entonces vemos por inducción que

$$A^{p+1}B-BA^{p+1}=(p+1)A^{p+k}$$ Supongamos ahora que $A$ invertible y definir el lineal mapa de $\varphi: M\mapsto MA^{-k+1}B-BA^{-k+1}M$ $$\varphi(A^{p+k})=(p+1)A^{p+k}, \forall p$$ lo que significa que $\varphi$ tiene un conjunto infinito de valores propios en el espacio de dimensión finita que es una contradicción.

Answer 3

Si se multiplica por ningún poder de $A$ (a la izquierda o a la derecha) y tomar la traza, se obtiene que para todos los $p \ge k$, $Tr(A^p)=0$. En $\mathcal{M}_n\big(\mathbb{C}\big)$, la función triangularize $A$. Con $a_1,...,a_n$ las entradas de la diagonal, la igualdad anterior sobre el seguimiento puede ser reescrita: para todos los $p \ge k$, $a_1^p+\cdot\cdot\cdot+a_n^p=0$, a partir de la cual se puede demostrar fácilmente que $a_1=...=a_n=0$ (mantener sólo la no-null $a_i$ y la reescritura de la desigualdad mediante una Vandermonde como matriz).

Por lo tanto $A$ es nilpotent.