Evaluar $\int \frac{dx}{(x^2-x+1)\sqrt{x^2+x+1}}$

Question

Evaluar $$I=\int \frac{dx}{(x^2-x+1)\sqrt{x^2+x+1}}$$

Mi libro dio la sustitución de $$\int \frac{dx}{P\sqrt{Q}}$$ como

$\frac{Q}{P}=t^2$ al $P$ $Q$ son expresiones cuadráticas

Por lo consiguiente, he usado

$$\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=t^2 \tag{1}$$ obtenemos

$$\frac{(1-x^2) \, dx}{(x^2-x+1)^2}=t \,dt$$

Entonces

$$I=\int \frac{\sqrt{x^2-x+1}\:dt}{1-x^2}$$

Por Componendo de la fundación " dividendo en $(1)$ tenemos

$$\frac{x^2+1}{x}=\frac{t^2+1}{t^2-1}$$

Pero, ¿cómo expresar integrando puramente en términos de $t$?

Answer 1

Enfoque alternativo: el Uso de la sustitución de $x=(t-1)/(t+1)$ la integral se reduce a $$2\int\frac{t\,dt}{(t^2+3)\sqrt{1+3t^2}}+2\int\frac{dt}{(t^2+3)\sqrt{1+3t^2}}$$ For the first integral use the substitution $1/\sqrt{1+3t^2}=u$ and for the second one use $t/\sqrt{1+3t^2}=v$.

Actualización: La sustitución que se utilizó anteriormente es tomado de mis favoritos Hardy es Un Curso de Matemáticas Puras y es aplicable a las integrales de la forma $$\int\frac{px+q} {(ax^2+2bx+c)\sqrt{Ax^2+2Bx+C}} \, dx$$ where $ax^2+2bx+c=0$ has complex roots (ie $b^2<ac$). The substitution to be used here is $$x=\frac{rt+s} {t+1}$$ where $r, s$ are roots of the quadratic equation $$(Ab-Ba)z^2-(Ca-Ac)z+(Bc-Cb)=0$$ The above equation will always have real roots. After performing the substitution the integral is reduced to the form $$\int \frac{Lt+M} {(\alpha t^2+\beta)\sqrt{\gamma t^2+\delta}} \, dt$$ which can be split into two integrals. The first of these is handled by using substitution $u=1/\sqrt{\gamma t^2+\delta}$ and for the second one the substitution $v=t/\sqrt{\gamma t^2+\delta } $ se utiliza.

Answer 2

Tenemos que $$\frac{x^2+1}{x}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\tag{1}$$ so $$\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{1-x^2}=\frac{\sqrt{x\left(\frac{t^2+1}{t^2-1}-1\right)}}{1-x\cdot\frac{t^2+1}{t^2-1}+1}=\frac{(t^2-1)\sqrt{\frac{2x}{t^2-1}}}{2(t^2-1)-x(t^2+1)}=\frac{\sqrt{2x(t^2-1)}}{2(t^2-1)-x(t^2+1)}$$ and you can further invoke $(1)$ to solve for $x$ a sustituir en la expresión anterior.