La escritura de una Prueba Falsa para el Análisis Real

Question

las matemáticas de la comunidad!

Estoy impartiendo un curso de Análisis Real pronto, y una cosa que yo quería incluir fueron un par de "falsas pruebas" para mis estudiantes a evaluar. La investigación que he hecho no ha subido ningún falso-las pruebas con respecto a la continuidad.

Así que me voy a poner a usted: ¿alguno de ustedes tiene una de las favoritas de la "prueba" que implica la continuidad o un criterio secuencial con un defecto en lo que podría tocón de algunas personas?

Answer 1

Esto no implica continuidad, pero es una "falsa prueba" de que involucra conceptos básicos. Hice esto como un conjunto de problemas pregunta cuando me enseñó por primera vez de álgebra lineal.

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¿Qué es incorrecta acerca de la siguiente cadena de razonamiento?

Tenemos este problema: $$ \left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ 1 & -4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right] $$

Por lo tanto: $$ \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 6 & 2 \\ -3 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ 1 & -4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 6 & 2 \\ -3 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right] $$

Por lo tanto: $$ \left[ \begin{array}{cc} 22 & 0 \\ 0 & 8 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 30 \\ 8 \end{array} \right] $$

Por lo tanto, la solución es $y = 1$, $x = 30/22$.

Answer 2

No estoy seguro de que tengo una favorita, pero me parece que esta bueno:

La prueba de la siguiente instrucción tiene un fallo. Identificar la falsa declaración en la prueba, y dar un ejemplo para mostrar que es falso:

Cada delimitada real continua la función con valores de $f$ $\mathbb{R}$ alcanza su máximo.

Prueba. Deje $M=\sup\{f(x) \colon x \in \mathbb{R}\}$, y deje $x^*, x_n \in \mathbb{R}$ tal que $x_n \to x^*$$f(x_n) \to M$. Desde $f$ es continua, $f(x_n) \to f(x^*)$, lo que implica $f(x^*)=M$. Por lo tanto, $x^*$ es donde: $f$ alcanza su máximo.

En general, un buen lugar para las ideas o incluso abiertamente de los problemas pueden ser Contraejemplos en el Cálculo.