Desde constructivo de las matemáticas nos permite evitar cosas como la Paradoja de Russell, entonces ¿por qué no reemplazar las tradicionales pruebas? ¿Cómo sabemos que el "normal" de la clase de matemáticas son libres de paradojas, sin una construcción a prueba?
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JoshL
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Prueba los teóricos han obtenido varios "consistencia relativa" pruebas entre lo clásico y constructivo de las teorías. Estos muestran que, si ciertas teorías clásicas de las matemáticas son incompatibles, entonces correspondiente teorías constructivas, las matemáticas son también incompatibles. Estos consistencia relativa de los resultados se demuestran de manera constructiva. Ellos muestran que el problema de coherencia, no simplemente desaparece si cambiamos constructivo de las matemáticas.
Uno de los más famosos de la consistencia relativa de las técnicas de los usos de la "doble negación de la traducción". Este método asigna a cada fórmula $\phi$ de un sistema correspondiente fórmula $\phi^N$ (la "traducción" de $\phi$). La definición exacta de la traducción varía de autor a autor, dependiendo del sistema en cuestión. Pero el nombre es algo exacto: la definición de $\phi^N$ implica la adición de más negación símbolos a $\phi$ en los lugares correctos.
En 1933, Gödel demostró que hay una traducción al $N$ de las fórmulas de la aritmética de Peano de manera que cuando una fórmula $\phi$ es comprobable en la aritmética de Peano, la correspondiente fórmula $\phi^N$ es demostrable en el sistema constructivo de Heyting aritmética. Por otra parte, si $\phi$ es de la forma$A \land \lnot A$, a continuación, Gödel de la traducción se la asigna a la fórmula $\phi^N = A^N \land \lnot A^N$, que todavía es contradictorio. Esto significa que si la aritmética de Peano es inconsistente, por lo que es su constructiva contraparte Heyting aritmética. Gödel de la prueba es constructiva, como te gustaría.
Así que si nos quedamos sólo preocupado acerca de la consistencia, no habría ninguna ventaja para trabajar en Heyting aritmética en lugar de la aritmética de Peano. Pero las personas que trabajan en la construcción de las matemáticas no es sólo por el bien de la coherencia. Constructivo pruebas de realizar más información de la clásica de las pruebas, de manera constructiva provability es muy interesante, incluso para los matemáticos clásicos.
Usted puede leer un poco más acerca de Gödel del resultado en este artículo de la wikipedia.
Judah Himango
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27365
Un montón de cosas en el que las matemáticas son inherentemente no constructiva. Por ejemplo, la teoría de invariantes--recordar la famosa cita de Gordan que Hilbert de matemáticas fue "teología". (Una cita que, creo, era en broma.) El de Hahn-Banach teorema, una herramienta fundamental en el análisis funcional (y una gran herramienta para probar todo tipo de resultados, como aproximación de los resultados, los métodos de Runge del teorema, la Piedra-teorema de Weierstrass, y más) se basa en el axioma de elección, y, por consiguiente, no constructiva. El hecho de que cualquier ideal en un anillo está contenido en un ideal maximal se utiliza con frecuencia en álgebra, y, sin embargo, se necesita el axioma de elección. El uso de ultraproducts en la lógica (o la construcción de hyperreal números) es inherentemente no constructiva: usted no puede exhibir un nonprincipal ultrafilter en los números naturales.
Básicamente, un montón de matemáticas simplemente no funciona sin el lema de Zorn, y esto es equivalente al axioma de elección.
Robert Cartaino
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211
La distinción entre constructivo de las matemáticas y tradicional de las matemáticas no tiene nada que ver con la Paradoja de Russell.
Constructivo de las matemáticas simplemente requiere trabajar con uno menos postulado básico de que muchos matemáticos han creído para ser sensible y en el que algunas pruebas se basan, a saber, el Axioma de Elección
cjstehno
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131
Aquí está una elemental resultado no se puede probar sin el Axioma de Elección (que yo solía pensar que no era parte de constructivo de las matemáticas): vamos a $\left\{X_i\right\}_{i\in I}$ ser una arbitraria de la familia de los no-vacía de conjuntos. Entonces su producto $\prod_{i\in I} X_i$ es un conjunto no vacío.
Todo el mundo sabe cómo demostrar que para una familia de dos conjuntos. Si dos conjuntos de $X$ $Y$ son no vacíos, entonces su producto cartesiano $X \times Y$ es no-vacía: desde $X$ no está vacía, se puede elegir un elemento de: $x \in X$. Por la misma razón, puede elegir también una $y \in Y$. Así que usted tiene un elemento $(x,y) \in X\times Y$ y por lo tanto es no vacío. A la derecha?
Para un número finito de familia no vacía de conjuntos de $X_1, \dots , X_n$ este procedimiento todavía funciona: usted elige un elemento de cada conjunto a partir de la primera: $x_1 \in X_1$. Y, a continuación, seguir haciendo lo mismo para el resto: elija $x_2$ en el segundo set $X_2$, $x_3$ en la tercera $X_3$,... Y así sucesivamente, hasta llegar a la $x_n \in X_n$. Se ha producido un elemento del producto cartesiano: $(x_1, \dots , x_n) \in X_1 \times \dots \times X_n$.
Incluso si usted tenía una infinita contables de la familia de los no-vacío conjuntos de $X_1, X_2, \dots , X_n, \dots$, se puede producir un elemento de su producto $\prod_{n=1}^{\infty} X_n$ de esta forma: seleccione sucesivamente elementos $x_1 \in X_1$, $x_2 \in X_2$,..., $x_n \in X_n$... Y usted podría obtener su elemento $(x_n)$ de su infinita producto cartesiano. Por lo tanto $\prod_{n=1}^{\infty} X_n$ es no vacía si todos los $X_n$, $n=1, 2, \dots $ son no vacíos.
Ahora, intente hacer lo mismo con un arbitraria de la familia de los conjuntos de $X_i$, con los índices de $i$ pertenece a un arbitrario de la indexación de establecer $I$. Es decir, $I$ puede ser infinito y no contables. Este tipo de productos cartesianos no existen en la naturaleza". Por ejemplo: $I$ podría ser el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. Tome $X_i = \mathbb{R}$ todos los $i \in \mathbb{R}$. Este producto cartesiano $\prod_{i\in \mathbb{R}} X_i = \mathbb{R}^\mathbb{R}$ es el mismo que el conjunto de todos (no necesariamente continua) funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$.
Por supuesto, usted puede probar que $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ es no-vacío, mostrando a un elemento de la misma (por ejemplo, $f(x) = x$ todos los $x\in \mathbb{R}$), pero ¿cómo se puede demostrar que, en general, el producto de una arbitraria de la familia de los no-vacío conjuntos de $\prod_{i\in I}X_i$ no está vacía?
Si intenta imitar lo que acaba de hacer en el finito o contable de los casos, usted encontrará preguntando: donde empiezo? Que es la primera $\ i \in I$? Asumiendo que hay una primera $i$, el cual es el siguiente ?
La respuesta es que, por un infinito, no contables, conjunto de índices $I$ en general no hay tal cosa como un primer índice de $i$, ni un lado . No se puede utilizar el algoritmo anterior con el fin de producir un elemento del producto $\prod_{i\in I} X_i$...
Salvo que haya algo que te permite elegir, un elemento de cada conjunto $x_i \in X_i$ -no importa cómo, aunque no precisa algoritmo constructivo como en el finito o contable de los casos.
Si fueron capaces de hacer eso por no importa que el conjunto de índices $I$, entonces usted tendría su elemento $(x_i)_{i\in I}$ y se hubiera demostrado que, si todos los $X_i \neq \emptyset$, por lo que es su producto cartesiano $\prod_{i\in I} X_i$.
¿Qué permitir que usted para un infinito, no contables, conjunto de índices $I$ a elegir los $x_i \in X_i$ por cada $i\in I$? Bien, esto es exactamente lo que el Axioma de Elección , dice.
