Cada finito conmutativa anillo sin divisores de cero contiene un multiplicativo de identidad?

Question

Existe un sencillo argumento que muestra que un número finito de la integral de dominio (propiedad conmutativa unital anillo sin divisores de cero) es un campo. Aquí me pregunto si este resultado sigue en pie, si el término "unital" se deja caer.

En otras palabras, puede finita conmutativa anillo sin divisores de cero siempre contienen un multiplicativo de identidad? Más generalmente, si esto es cierto, podemos incluso generalizar Wedderburn poco teorema: cada finito anillo sin divisores de cero es un campo?

Answer 1

Sí, y esta es la manera habitual de estado (respuesta a su última pregunta).

En cuanto a tu primera pregunta: vamos a $0\neq a\in R$ cualquier elemento. Multiplicar $a$ por todos los elementos de a $R$. Cuando se multiplica con dos elementos diferentes, los dos productos son diferentes, ya que no hay divisores de cero. Así que obtener de cada elemento como un producto, en particular, $a=ax$ algunos $x\in R$.

Deje $b\in R$ ser arbitraria. A continuación,$bxa=bax=ba$, así que de nuevo, ya que no hay divisores de cero, tenemos $bx=b$. Por lo tanto $x$ es una unidad de elemento.

De hecho, con un poco más de cuidado, también es posible deshacerse de la conmutatividad de la condición. Comprobar mi cálculo, localizar el lugar donde la he usado, y entonces usted puede arreglar para que funcione para arbitrario finito anillos.

Answer 2

Con cuidado, usted puede hacerlo finito, distinto de cero, no conmutativa anillos con ningún distinto de cero divisores de cero, la última parte en el sentido de que la izquierda y la derecha cancellative.

Deje $a\in R$ ser distinto de cero. Luego a la izquierda de la multiplicación por $a$ sobre los elementos de la $R$ es inyectiva, y desde $R$ es finito $a=ax$ algunos $x\in R$. A continuación, se desprende también que el $aa=axa$ $a=xa$ por la multiplicación y la cancelación (anulación de ser posible en un anillo distinto de cero sin divisores de cero.)

Entonces para cualquier otro $b\in R$, $bxa=ba$ implica $bx=b$ $axb=ab$ implica $xb=b$ después de las cancelaciones.

En este momento estamos buscando a un anillo finito con un valor distinto de cero identidad sin distinto de cero divisores de cero, y Wedderburn del pequeño teorema de la llevaría a través de mostrarnos es conmutativa y un campo.