¿Existe una prueba de que la realización de una operación en ambos lados de una ecuación preserva la igualdad?

Question

Así que estaba aprendiendo algo de álgebra abstracta y teoría de grupos, cuando repasaron la prueba de la ley de cancelación

$$ ab = ac\implies a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac)\implies (a^{-1}a)b = (a^{-1}a)c\implies eb=ec \implies b=c $$

Pero el primer paso en el que se añade el término adicional me parece chocante, sobre todo porque me pareció que estábamos probando alguna cosa trivial desde el principio. Obviamente estoy familiarizado con el pre álgebra de la escuela media, así que sé que es cierto que si realizamos una operación en ambos lados se preserva la igualdad, pero no sabía cómo conozca esto es así siempre. ¿Es un axioma o está demostrado?

Este es mi intento de prueba, dime si voy en la dirección correcta.

Supongamos mediante el axioma que $x=x$ y si $a=b$ y $b=c$ entonces $a=c$ y demostrar que $a=b\implies ka=kb$

Sabemos que $a=b$ definimos $x\mid x=a \implies a=x$ . Desde $a=b$ y $a=x$ entonces $b=x$ que podemos reescribir como $x=x$ . Ahora realizamos la operación en ambos lados $kx=kx$ , lo que es cierto a través de nuestro axioma. Entonces re-sustituimos $x=a$ y $x=b$ para conseguir $ka=kb$ . Q.E.D

Esa era mi idea original pero no sé si es estanca. ¡Gracias!

Answer 1

En la lógica de primer orden, tenemos el formal principio de sustitución :

Dejemos que $\phi$ sea una fórmula proposicional con una variable libre $v$ y que $\Gamma$ sea un contexto. Además, dejemos que $x, y$ sean dos términos que representen valores. Entonces: \begin{align*} \Gamma & \vdash x = y \\ \Gamma & \vdash \phi[v := x] \\ \hline \Gamma & \vdash \phi[v := y]. \end{align*}

Informalmente, lo que esto dice es: si se puede demostrar en algún contexto que $x=y$ y también se puede demostrar que alguna afirmación es verdadera para $x$ entonces se puede concluir que la misma afirmación es cierta para $y$ . (La notación $\phi[v := x]$ sólo significa el resultado de sustituir $x$ en para $v$ en la fórmula de la proposición $\phi$ .)

Ahora, si trabajamos en grupo, apliquemos esto a la fórmula $\phi := (a^{-1} (ab) = a^{-1} v)$ . Entonces, en el contexto de la prueba, estamos asumiendo $ab = ac$ . También, $\phi[v := ab]$ resulta en la proposición $a^{-1}(ab) = a^{-1}(ab)$ que es verdadera por el axioma de primer orden (o en algunas formulaciones, la regla de prueba formal) de reflexividad de la igualdad : $t = t$ para cualquier término $t$ . Por lo tanto, el principio de sustitución nos permite concluir que $\phi[v := ac]$ es verdadero, lo que resulta en $a^{-1} (ab) = a^{-1} (ac)$ .

Para dar otra aplicación que se utiliza implícitamente en la demostración, veamos cómo utilizar el principio de sustitución para demostrar la transitividad de la igualdad: si tenemos $x=y$ y $y=z$ entonces $x=z$ . Para esta prueba, utilizaremos $\phi := (x = v)$ . Entonces estamos asumiendo $y=z$ . También tenemos que $\phi[v := y]$ es verdadera ya que se reduce a la suposición $x = y$ . Por lo tanto, podemos concluir $\phi[v := z]$ que es sólo $x = z$ .

Answer 2

Solemos tomarlo como un axioma de la relación de igualdad. En particular, suponemos que en un conjunto $E$ existe una relación $=$ que satisface las siguientes propiedades para $a,b,c\in E:$

(1) $a=a$ para todos $a\in E$ (egoísmo), (2) Si $a=b,$ entonces $b=a$ (reciprocidad), (3) Si $a=b$ y $b=c,$ entonces $a=c$ (continuidad), (4) Para cualquier función $f$ definido en $E,$ tenemos que si $a=b,$ entonces $f(a)=f(b)$ (conservación).

Answer 3

Si el signo " $=$ " era alguna relación que acabábamos de definir sobre cadenas como " $ab$ ", entonces sería necesario establecer lo que pide. Sin embargo, este no es el caso. El signo " $=$ " denota igualdad y la yuxtaposición de letras denota multiplicación, que es una función. Y para cada función $f$ tienes que $x=y$ implica $f(x)=f(y)$ . (O más parecido a la situación aquí: $x=y$ implica $g(z, x)=g(z, y)$ .)

Answer 4

La conservación de las ecuaciones al realizar las operaciones se desprende de la propia definición de qué operación es. ¡Eso es todo!

En concreto, si $\,a=b,\,$ y $\,f\,$ es una operación que se aplica a los argumentos dados, entonces $\,f(a)=f(b)\,$ o de otro modo $\,f\,$ no sería una operación.

Lo anterior se aplica también a las operaciones en varias (o incluso infinitas) variables, ya que una colección de variables puede interpretarse como una única variable. Si tienes, por ejemplo, las variables $\,a_1\ldots a_n\,$ entonces introducimos (explícita o implícitamente) una nueva variable $\,a:=(a_1\ldots a_n),\,$ y ahora esta es la misma historia.

OBSERVACIÓN:   De forma más general, podemos considerar las funciones -- la preservación de las ecuaciones por parte de las funciones se debe de nuevo a la propia definición de la noción de función, al igual que en el caso de las operaciones (las operaciones mapean los argumentos en el mismo conjunto total de argumentos mientras que las funciones pueden tener sus rangos no relacionados con el conjunto de argumentos).

Answer 5

Su prueba parece buena, pero un poco más complicada de lo necesario.

Empezamos con x = x por la propiedad reflexiva de la igualdad. A continuación, sustituimos cada x por ka y obtenemos ka = ka, ya que la propiedad reflexiva de la igualdad es válida para todo x, y el cierre es válido para cualquier operación por definición.

Entonces, como a = b, podemos optar por sustituir sólo la "a" de la derecha por la "b" y eso da como resultado,

ka = kb.

Como aquí hemos supuesto una operación binaria arbitraria (no un grupo) que suprimimos al escribir, para cualquier operación binaria F, tenemos que si a = b, entonces F(k, a) = F(k, b).

El resultado tiene muchos corolarios, todos ellos suponiendo que x = y, como F(a, k) = F(b, k), y para una operación unaria U, U(x) = U(y), y para cualquier operación trinaria T, T(k, a, j) = T(k, b, j). La más general de las cuales parece ser la siguiente:

Theoerm: Supongamos que x = y, y que a $_1$ , ..., a $_n$ es una lista completa L de variables y constantes en una fórmula con una operación F. Supongamos que para algún a $_k$ en L, a $_k$ = x. (Nótese que k puede ser igual a 1, o k puede ser igual a n). Entonces

F(a $_1$ , ..., a $_k$ , ..., a $_n$ ) = F(a $_1$ ..., y, ..., a $_n$ ).

Prueba: Dejaré esto como un ejercicio. Ver arriba para una pista.