Preguntas interesantes (con respuestas) sobre conceptos de topología para un público aficionado

Question

Me han pedido que organice un concurso de introducción a las matemáticas para los alumnos de primer año de mi universidad. Se trata de preguntas interesantes sobre diferentes áreas de las matemáticas presentadas de tal manera que parezca que no tienen nada que ver con esa área de las matemáticas. Un ejemplo de este tipo de problemas es el Teorema de Futurama.

Estas preguntas no deberían estar en un lenguaje que implique términos de topología (como espacios topológicos, homeomorfismo, etc.) teniendo en cuenta el público aficionado para el que se está presentando. Personalmente no he podido encontrar ninguna pregunta de este tipo, excepto algunas que implican mostrar la equivalencia de diferentes nudos.

Answer 1

Siempre me ha gustado el: colgar un cuadro en dos clavos , de tal manera que si se quita uno la imagen se cae.

Aunque la solución a esto se puede encontrar con un poco de suerte y sin el conocimiento de los grupos fundamentales los más complicados (colgarlo en $n$ clavos) es probablemente imposible sin ninguna idea matemática avanzada.

Answer 2

He aquí una lista de sugerencias:

1. Coge un disco de papel. Arrúgalo y coloca el papel arrugado sobre el lugar del disco inicial. Un punto del papel arrugado estará en la vertical de su posición inicial en el disco. Este es el teorema del punto fijo.

2. Crear un Banda de Möbius . Un ejemplo de superficie con una sola cara.

3. Describa la construcción del Curva de Peano . Una curva que rellena un cuadrado.

4. Cómo pintar una superficie infinita con una cantidad finita de pintura. La paradoja del pintor .

5. La linterna Schwarz . O cómo aproximar una superficie de área finita con triángulos cuyas áreas son infinitas.

Puede encontrar otros ejemplos sobre topología en mi mathcounterexamples.net sitio web.

Answer 3

Un bonito (y clásico) problema sería el de los puentes de Königsberg ( https://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg ).

Answer 4

Esta es una línea de pensamiento. Creo que sería fructífero comunicar algunas de las ideas más geométricas de la topología algebraica o simplemente resultados geniales de la topología más general. Aquí hay algunos ejemplos de preguntas que creo que serían útiles:

1. Dada una hoja de papel cuadrada, ¿cómo puedes hacer un toroide con ella? (En topología algebraica, esto conduce a la idea de espacios cotizados)

2. ¿Cómo se puede recuperar un plano a partir de una esfera? (En topología una esfera de dimensión $n$ menos un punto es homeomofico a a $\mathbb{R}^n$ )

3. Dado un toroide, ¿podemos deformar cualquier bucle en él hasta convertirlo en un punto? (En topología algebraica este es el resultado de que el grupo fundamental de un toro es no trivial)

Todos estos ejemplos transmiten el tipo de problemas geométricos que uno se plantea en topología algebraica, sin necesidad de desarrollar la terminología necesaria para explicarlo con rigor. Creo que eso es bueno en este caso porque se quiere transmitir una idea de lo que pueden ser las matemáticas sin entrar en todos los detalles peliagudos de su funcionamiento.

Answer 5

Como has dicho, los nudos y las trenzas son una buena fuente de este tipo de problemas. Aquí tienes algunos que quizá no hayas encontrado.

Por ejemplo, se podría demostrar que los grupos de trenzas en la esfera tienen elementos de torsión y luego relacionar esto con el Truco del cinturón de Dirac / truco de la placa - normalmente esto se explica utilizando el hecho de que $SU(2)$ es simplemente conectado, pero puede explicarse igualmente por el hecho de que el grupo de trenzas de 2 cuerdas en la esfera $B_2(S^2)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

Algunos invariantes sencillos también pueden demostrarse con muy poco conocimiento previo, como la colorabilidad de los nudos, por lo que se podría mostrar cómo distinguir un nudo de otro mostrando que uno es tricolor y otro no.

En mi experiencia, la gente siempre está bastante intrigada por la existencia de Enlaces de Brunnian (y trenzas) y ciertamente hay mucho material aquí para trabajar.

La existencia de Superficies Seifert a través del algoritmo Seifert es muy pictórico y es bastante divertido jugar con él sobre el papel.