Explicación matemática de la suma de matemáticas ${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!}{(2n+2)!}\zeta(2n)}$

Question

Desde un punto de vista matemático, ¿qué fenómenos que muy probablemente Mathematica Wolfram encontró cuando calculando : $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!}{(2n+2)!}\zeta(2n)\,=\,\color{red}{\frac{2\log(2\pi)-3}{8}+\frac{\zeta(3)}{8\pi^2}}$$ lo cual es incorrecto.

Al calcular la suma de esta pregunta Me he dado cuenta de que el resultado de Wolfram contiene ${\small\,\frac{\zeta(3)}{8\pi^2}\,}$ lo cual es incorrecto. Aunque me di cuenta de que podía tratarse de un error, empecé a preguntarme si hay alguna explicación lógica detrás de este error de cálculo. ¿Ha encontrado el algoritmo Wolfram algo similar a Teorema de reordenación de Riemann ?

Haciendo más investigaciones, resulta que Wolfram está calculando incorrectamente la forma cerrada de toda una clase de suma zeta, excepto el último caso que es correcto. $$\small \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(\alpha\,n)}{(n+a)(n+b)\dots} &= \sum_{n=1}^{\infty}\left[A\frac{\zeta(\alpha\,n)}{n+a}+B\frac{\zeta(\alpha\,n)}{n+b}+\dots\right] = \\ C+\,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(\alpha\,n)-1}{(n+a)(n+b)\dots} &= \color{darkgreen}{\sum_{n=1}^{\infty}\left[A\frac{\zeta(\alpha\,n)-1}{n+a}+B\frac{\zeta(\alpha\,n)-1}{n+b}+\dots\right]\,+C} \end{align}$$ Y con la aparición de este caso (la última forma cerrada correcta), creo que hay una explicación matemática respecto a un método o algoritmo de suma correcto que da una especie de forma cerrada incorrecta sistemática si se aplica de una determinada manera. Apreciando si alguien puede explorar esto y alertarnos independientemente de cualquier error que pueda existir en cualquier aplicación de matemáticas . Gracias.

Answer 1

Sólo una nota.

WolframAlpha puede calcular $\enspace\text{Sum[Zeta[2n]*(2n-1)!/(2n+1)!,{n,1,Infinity}]}$

$\displaystyle \left(=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)(2n-1)!}{(2n+1)!}\right)\enspace$ exactamente

pero sólo puede aproximado $\enspace\text{Sum[Zeta[2n]*(2n)!/(2n+2)!,{n,1,Infinity}]}$

$\displaystyle \left(=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)(2n)!}{(2n+2)!}\right)$ .

Esto es realmente extraño, porque la dificultad es más o menos la misma. WolframAlpha tiene problemas con las series de convergencia lenta.

Tal vez el término $\,\,\text{$ \zeta(3)/(8\pi^2 $)}\,\,$ es por casualidad, porque la inexactitud de los cálculos parece estar muy cerca de este término en algún momento de los cálculos.

Es interesante, que WolframAlpha calcula

$\,\,\text{Sum[Zeta[2n](2n-1)!/(2n+3)!,{n,1,Infinity}]}\,\,$ $\displaystyle \left(=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)(2n-1)!}{(2n+3)!}\right)$

incluyendo exactamente $\,\text{$ \zeta(3)/(8\pi^2 $)}$ Aquí $\,\text{$ 9\zeta(3)/(72\pi^2 $)}\,$ .