Entero soluciones a $x^3=y^3+2y+1$?

Question

Encontrar todos los integral pares de $(x,y)$ satisfacción $$ x^3=y^3+2y+1.$$

Mi planteamiento:

Traté de factorizar $x^3-y^3$$$(x-y)(x^2 + xy + y^2)=2y+1,$$, pero sé que esto es completamente indefenso. Por favor me ayude en la solución de este problema.

Answer 1

Sugerencia: si $y>0$,$y^3< y^3+2y+1< (y+1)^3$, de modo que el lado derecho de la expresión no puede ser un cubo perfecto. Una idea similar funciona si $y$ es lo suficientemente pequeño número negativo, pero algunos números negativos cerca de $0$ (o $0$ sí) puede proporcionar una solución.

Trate de encontrar un límite inferior y, a continuación, compruebe el resto de valores posibles.

Answer 2

O usted puede escribir $x=y+z$ algunos $z\in Z$ (que es $z=x-y$). Así, obtenemos una ecuación de segundo grado en $y$: $$ 3y^2z+y(3z^2-2)+z^3-1=0$$ que tiene un discriminante de un cuadrado perfecto: $$d^2 = (3z^2-2)^2-12z(z^3-1)=-3z^4-12z^2+12z+4$$

Así que tenemos $$3z^4+12z^2\leq 12z+4$$ y esto no puede ser cierto para un montón de números enteros $z$ (de hecho, sólo para$0$$1$) ...

Answer 3

Solución

Suponga que $$x=y+t,~~~t \in \mathbb{Z}.$$

Entonces $$(y+t)^3=y^3+2y+1,$$ namely $$3ty^2+(3t^2-2)y+t^3-1=0.\tag1$$

Si $t=0$,$y=\dfrac{1}{2}$, lo cual es absurdo. Por lo tanto, $t \neq 0$, lo que implica que $(1)$ podría ser visto como una ecuación cuadrática con respecto a la $y$.

Considerar el discriminante para $(1)$. $$\Delta=(3t^2-2)^2-4\cdot 3t \cdot (t^3-1)=-3(t^2+2)^2+12t+16.$$

Si $|t|\geq 2$, luego $$\Delta=-3(t^2+2)^2+12t+16<-3(t+2)^2+12t+16=4-3t^2<0.$$ Thus, $(1)$ no tiene ninguna raíz real.

Por lo tanto, los posibles valores de $t$ $t=\pm 1.$ Ahora, podemos comprobar que $t=1$ es la única solución. En virtud de este caso, $$x=1,y=0.$$

Answer 4

considerar en primer lugar sólo $x> y\ge0$

supongamos $x=y+a$ entonces la ecuación es $(y+a)^3=y^3+2y+1$

$y^3+3ay^2+3a^2y+a=y^3+2y+1$

$3ay^2+(3a^2-2)y+(a-1)=0$

sin embargo, como $a\ge1$, $3a^2-2\ge0$,$a-1\ge0$

Si $y>0$,$3ay^2+(3a^2-2)y+(a-1)>0$, lo $y=0$

a continuación, $x^3=1$

$(x,y)=(1,0)$ son sólo solución integral

Answer 5

En la toma de la raíz cúbica de $$x^3=y^3+2y+1\tag{1}$$ tenemos $$x=(y^3+2y+1)^{1/3}$$ Ahora $x$ es un número entero, y por $(1)$, $y^3+2y+1$ es un cubo, decir $(y-\alpha)^3$: $$y^3+2y+1=(y-\alpha)^3=y-3\alpha y^2+3\alpha^2y-\alpha^3$$ La comparación de los coeficientes vemos que no hay soluciones menos $y=0$$\alpha=-1$, lo que deja a $(1)$ $$x^3=1\implies x=(1)^{1/3}=1$$ y por lo $(x,y)=(1,0)$ es la única solución en los números enteros.