Tome $V=K$$W=K^2$; considerar la posibilidad de $f\colon V\to W$$f(1)=(1,0)$$f_1\colon V\to W$$f_1(1)=(0,1)$. De curso $\ker f_1\subseteq\ker f$, pero $f$ no es linealmente dependiente de $f_1$.
Veamos el caso general. Si $U=\bigcap_{i=1}^n\ker f_i$, luego los mapas inducir lineal mapas $\bar{f}_i\colon V/U\to W$ $(i=1,\dots,n)$ y $\bar{f}\colon V/U\to W$. El problema ahora es si cualquier lineal mapa de $g\colon V/U\to W$ puede ser obtenida como combinación lineal de los dados.
Por lo tanto podemos suponer $U=0$ y que los mapas son linealmente independientes, por lo que el problema se convierte en
Deje $f_1,\dots,f_n\colon V\to W$ es linealmente independiente mapas de $K$-espacios vectoriales con $\bigcap_{i=1}^n\ker f_i=0$; es cierto que cualquier lineal mapa de $f\colon V\to W$ es una combinación lineal de los mapas?
Lo que podemos decir es que hay una incrustación
$$
V=\frac{V}{\bigcap_{i=1}^n\ker f_i}\a\bigoplus_{i=1}^n \frac{V}{\ker f_i}.
$$
por lo $\dim V\le n\dim W$. Por lo tanto, el aumento de la dimensión de $V$ en el problema original no ayuda en la "normalizar" la situación. Esto muestra también que la afirmación es, en general, falso: en el lapso de los mapas tiene dimensión $n$, mientras que $\dim\mathrm{Hom}(V,W)=(\dim V)(\dim W)$. Usted debe ser capaz de mostrar un contraejemplo, ahora.
Observe que, en el caso de al $W=K$, es suficiente para mostrar que el período de mapa tiene dimensión $\dim V$, que se desprende de la incrustación.
