Suspensión de un producto - equivalencia homotópica complicada

Question

Dejemos que $(X,x_0), (Y,y_0)$ sean espacios bien punteados (la inclusión de los puntos base es una cofibración). Demostrar la siguiente equivalencia homotópica $$ \Sigma (X\times Y) \simeq \Sigma X \lor \Sigma Y \lor \Sigma (X\land Y), $$ donde $\Sigma$ significa un suspensión (o suspensión reducida si se prefiere, ya que no importa para los espacios bien delimitados) y $\land$ es un producto estrella .

Asumiendo que estamos usando la suspensión reducida, es bastante claro que $\Sigma X \lor \Sigma Y$ es un subespacio de la lhs, pero no sé cómo sacarlo de alguna manera fuera y obtener $\Sigma (X\land Y)$ .

Editar: Sé que la equivalencia de homotopía se puede deducir de los teoremas generales sobre "funtores de homotopía" (espero que se llamen así en inglés) del capítulo 7.7 de Spanier. Pero me han dicho que hay una prueba explícita y es la que estoy buscando.

Answer 1

No sé lo explícito que podemos ir, pero lo intentaré. Tenemos que pasar primero por la parte homotópica-teórica.

Desde $\{ * \} \subseteq X, \{ * \} \subseteq Y$ son cofibraciones, $X \vee Y \subseteq X \times Y$ también lo es. Dejemos que $Z$ sea un espacio punteado y considere la secuencia exacta larga de homotopía para el par $X \vee Y \subseteq X \times Y$ , es decir, la secuencia

$\ldots \rightarrow [\Sigma ^{2}(X \vee Y), Z] \rightarrow [\Sigma(X \wedge Y), Z] \rightarrow [\Sigma(X \times Y), Z] \rightarrow [\Sigma(X \vee Y), Z] \rightarrow [X \wedge Y, Z] \rightarrow \ldots$ ,

donde $[-,-]$ es el conjunto puntiagudo de clases de homotopía de los mapas que preservan el punto base. Nótese que para cualquier $n \geq 0$ , $\Sigma^{n}(X \vee Y)$ es homeomorfo a $\Sigma^{n}X \vee \Sigma ^{n} Y$ . No voy a distinguir entre los dos.

Dejemos que $k \geq 1$ y definir un mapa

$\psi ^{k}: \Sigma^{k}(X \times Y) \rightarrow \Sigma^{k}X \vee \Sigma^{k}Y$

$\psi ^{k} = \Sigma^{k}(i_{X} \pi_{X}) + \Sigma^{k}(i_{Y} \pi_{Y})$ ,

donde $\pi: X \times Y \rightarrow X, Y$ son las proyecciones y $i: X, Y \rightarrow X \vee Y$ son las inclusiones. La adición se realiza a través de la estructura de suspensión en $\Sigma^{k}(X \times Y)$ por lo que requerimos $k \geq 1$ . (Obsérvese que aunque lo denote por adición esto no es necesariamente conmutativo para $k=1$ .)

Si $j: X \vee Y \hookrightarrow X \times Y$ es la inclusión, entonces afirmo que $\psi ^{k}$ es la inversa izquierda de $\Sigma^{k}j$ , es decir. $\psi ^{k} \circ \Sigma^{k}j = id_{\Sigma^{k}(X \vee Y)}$ . Esto es importante porque $\Sigma^{k}j$ son mapas de conexión en la larga secuencia exacta de homotopía. En efecto, se calcula

$\psi ^{k} \circ (\Sigma^{k}j) = (\Sigma^{k}(i_{X} \pi_{X}) + \Sigma^{k}(i_{Y} \pi_{Y})) \circ \Sigma^{k}j = \Sigma^{k}(i_{X} \pi_{X} j) + \Sigma^{k}(i_{Y} \pi _{Y} j) = \Sigma^{k}(id_{X} \vee const) + \Sigma^{k}(const \vee id_{Y}) \simeq (\Sigma^{k}id_{X} + const) \vee (const + \Sigma^{k}id_{Y}) \simeq \Sigma^{k}id_{X} \vee \Sigma^{k}id_{Y} \simeq id_{\Sigma^{k}X \vee \Sigma^{k}Y}$ .

(También se puede ver esto geométricamente.) Esto implica inmediatamente que para todo $k \geq 1$ y todos $Z$ el $[\Sigma^{k}(X \times Y), Z] \rightarrow [\Sigma^{k}(X \vee Y), Z]$ inducido por $j$ es suryente y -por la exactitud de la secuencia exacta larga- que para todo $n \geq 1$ el mapa $[\Sigma^{n}(X \smash Y), Z] \rightarrow [\Sigma^{n}(X \times Y), Z]$ tiene un núcleo cero. En particular, para $k=1$ tenemos la secuencia exacta corta de grupos

$0 \rightarrow [\Sigma(X \wedge Y), Z] \rightarrow [\Sigma(X \times Y), Z] \rightarrow [\Sigma(X) \vee \Sigma(Y), Z] \rightarrow 0$

Además, el mapa inducido por $\psi^{1}$ lo divide y muestra que hay un isomorfismo natural

$\phi: [\Sigma(X \wedge Y), Z] \rtimes [\Sigma(X) \vee \Sigma(Y), Z] \rightarrow [\Sigma(X \times Y), Z]$ ,

de grupos, donde el producto es sólo semidirecto, porque nuestros grupos no son necesariamente abelianos. Esto es suficiente para nuestros propósitos, ya que también tenemos la biyecciones

$[\Sigma(X \wedge Y), Z] \rtimes [\Sigma(X) \vee \Sigma(Y), Z] \simeq [\Sigma(X \wedge Y), Z] \times [\Sigma(X) \vee \Sigma(Y), Z] \simeq [\Sigma(X \wedge Y) \vee \Sigma(X) \vee \Sigma(Y), Z]$ .

(La segunda se deduce del hecho de que $\vee$ es la suma directa en la categoría de espacios puntuales). El lema de Yoneda establece que existe un isomorfismo

$\theta: \Sigma(X \times Y) \rightarrow _{\simeq} \Sigma(X \smash Y) \vee \Sigma(X) \vee \Sigma(Y) $

en la categoría de homotopía de los espacios puntuales, es decir, una equivalencia de homotopía que buscábamos. Hace falta un poco de contabilidad en la argumentación del Yoneda-lema anterior para ver que dicho mapa viene dado por

$\theta = \Sigma(p) + \psi^{i} = \Sigma(p) + \Sigma^{1}(i_{X} \pi_{X}) + \Sigma^{1}(i_{Y} \pi_{Y})$ ,

donde $p: X \times Y \rightarrow X \wedge Y$ es la proyección natural. (Esto es lo que obtenemos si empezamos con $id \in [\Sigma(X \wedge Y) \vee \Sigma(X) \vee \Sigma(Y), \Sigma(X \wedge Y) \vee \Sigma(X) \vee \Sigma(Y)]$ y remontarlo por todas las biyecciones anteriores hasta $[\Sigma(X \times Y), \Sigma(X \wedge Y) \vee \Sigma(X) \vee \Sigma(Y)]$ - y esta es la forma de descubrir los isomorfismos "ocultos" por el lema de Yoneda).

Entiendo que mi exposición dista mucho de ser perfecta, pero si quieres que profundice en algunas partes, coméntalo.

Answer 2

Esta es la proposición 4I.1 de Hatcher. El argumento dado allí es geométrico y elemental. Va como sigue:

Suponemos que $X$ y $Y$ son complejos CW y utilizamos la suspensión reducida en todas partes (que en este caso es homotópicamente equivalente a la suspensión libre). Supongo que tu situación más general de espacios bien punteados funciona igual.

Considere la Reducción del número de miembros $X*Y$ que es, como la unión regular, el cociente de $X\times Y\times [0,1]$ por las relaciones

$$ (x,y_1,0)\sim(x,y_2,0) $$ $$ (x_1,y,1)\sim(x_2,y,1) $$

pero también colapsamos hasta un punto el segmento $(x_0,y_0,t)$ . es decir, colapsamos una "cara" del "cubo" para $X$ y lo contrario a $Y$ y el segmento que une los puntos base. Ahora, pegamos los conos en $X$ y $Y$ respectivamente a lo largo de las caras colapsadas y obtener un espacio

$$ Z=CX\sqcup_X (X*Y) \sqcup_Y CY $$

Demostraremos que es equivalente en homotopía a los dos espacios de su pregunta.

Por un lado, si colapsamos los dos conos $CX$ y $CY$ lo que obtenemos (desenrollando las definiciones) es precisamente la suspensión reducida de $X\times Y$ (nótese que utilizamos el reducido unir). Dado que el colapso de un subcomplejo contractible no cambia el tipo de homotopía, tenemos una equivalencia de homotopía $Z\simeq \Sigma (X\times Y)$ .

Por otro lado, dentro de la unión reducida $X*Y$ tenemos los espacios $X*y_0$ y $x_0*Y$ que también son contraíbles, ya que sólo son conos en $X$ y $Y$ respectivamente, y al colapsarlas se obtiene $\Sigma(X)\vee \Sigma(X\wedge Y)\vee \Sigma(Y)$ . Como antes, este espacio es equivalente en homotopía a $Z$ y hemos terminado.

Answer 3

Aquí hay una prueba muy sencilla que funciona en cualquier $(\infty,1)$ -categoría con (co)límites adecuados. Si no quieres preocuparte por lo que es exactamente esto, imagina una buena categoría de espacios como los conjuntos simpliciales o los complejos CW.

Dejemos que $X,Y$ sean espacios puntuales, observe el siguiente diagrama con los mapas obvios: $$\require{AMScd} \begin{CD} X \times Y @>{\operatorname{pr}_2}>> Y @>>> 1\\ @V{\operatorname{pr}_1}VV @VVV @VVV \\ X @>>> \Sigma (X \wedge Y) @>>> \Sigma Y \vee \Sigma (X \wedge Y) \\ @VVV @VVV @VVV \\ 1 @>>> \Sigma X \vee \Sigma(X \wedge Y) @>>> \Sigma X \vee \Sigma Y \vee \Sigma(X\wedge Y) \end{CD}$$

Ahora observa que el cuadrado de arriba a la izquierda es un cuadrado de empuje. Usted puede pensar en esto como la suspensión de un smash es la unión.

No es difícil ver que el cuadrado de abajo a la izquierda y el de arriba a la derecha también son empujones.

Nótese que a partir de estos hechos podemos componer 2 de los 3 cuadrados y obtener una caracterización de la cofibra de $\operatorname{pr}_1$ o $\operatorname{pr}_2$ .

Por último, el cuadro de abajo a la derecha también es un empuje por descenso. Sea el cuadrado inferior derecho la cara superior de un cubo. Damos al cubo una cara inferior con el siguiente cuadrado de expulsión:

$$\require{AMScd} \begin{CD} 1 @>>> \Sigma Y \\ @VVV @VVV \\ \Sigma X @>>> \Sigma X \vee \Sigma Y \end{CD} $$

No es difícil comprobar que todas las demás caras son pullbacks, por lo que nuestro cuadrado superior debe ser un pushout.

Al componer estos 4 cuadros de empuje tienes que $$\Sigma (X \times Y) \simeq \Sigma X \vee \Sigma Y \vee \Sigma(X\wedge Y)$$

Referencias

• Las escisiones James y Hilton-Milnor, y la secuencia EHP metaestable arXiv:1912.04130 .