¿Cuál es el significado físico de una integral?

Question

La derivada $\frac{dy}{dx}$ de una función $y=f(x)$ nos dice cómo tiene la función $y=f(x)$ cambia con el cambio de $x$ en el punto $(x,y)$ . ¿Cuál es el significado físico de la integral de la función $y=f(x)$ es decir, $I(a,b)=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ excepto el hecho de que representa el área bajo la curva delimitada por $x=a$ , $x=b$ y $y=f(x)$ ?

En concreto, el trabajo realizado bajo una fuerza, en una dimensión, viene dado por $\int F(x)dx$ . ¿Por qué debe llamarse suma continua?

¿Cómo funciona la interpretación del área si la función que se integra es una función de varias variables?

Answer 1

Aquí es un bonito vídeo de 3Blue1Brown con imágenes

Answer 2

En la medida en que se interpreta una forma diferencial que representa las variaciones "infinitesimales" de una función, el teorema fundamental del cálculo puede verse directamente como si se tomara la variación infinitesimal y se produjera la variación total:

$$\int_{x=a}^{x=b} \mathrm{d}f(x) = f(b) - f(a)$$

Answer 3

Al integrar la función de desplazamiento, llámala $f(x),$ se calcula el "absentismo". En cinemática, el absentismo es la medida del desplazamiento sostenido. (Wikipedia)