Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo y $I$ es un ideal propio no nulo de $R$ satisfactorio:
$(1)$ Si $I_1$ y $I_2$ son ideales tales que $I = I_1 \cap I_2$ entonces $I = I_1$ o $I = I_2$ ;
$(2)$ Si $a^n \in I$ entonces $a \in I$ .
Demostrar que $I$ es primo.
Esta es mi estrategia hasta ahora. Supongamos que $xy \in I$ . En última instancia, parece que el objetivo es encontrar ideales $I_x \ni x$ y $I_y \ni y$ tal que $I = I_x \cap I_y$ . Por $(2)$ , ya sea $x \in I$ o $y \in I$ .
Pensé que lo natural era comprobar $I_x = I + (x)$ y $I_y = I + (y)$ . Para entonces $I \subset I_x \cap I_y$ y $I_x I_y \subset I$ . Generalmente, $I_x I_y \subset I_x \cap I_y$ pero los dos son iguales si $I_x + I_y = R$ .
Así que pensé que podría utilizar $(2)$ de alguna manera para demostrar $I + (x) + (y) = R$ . Al mismo tiempo, me pregunto si esto no es cierto y si me estoy equivocando.
¿Estoy en el camino correcto? ¿Puede alguien darme una pista que me ayude a desatascarme?
Gracias.
