Suma de los Cuadrados de Armónica de los Números

Question

Deje $H_n$ $n^{th}$ número armónico,

$$ H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} $$

Pregunta: Calcular los siguientes

$$\sum_{j=1}^{n} H_j^2.$$

Me han tratado de una generación de la función de enfoque, pero no podía resolver esto.

Answer 1

Este es un ejercicio interesante en suma parcial. Para la primera, tenemos: $$\begin{eqnarray*}\sum_{j=1}^{n}H_j &=& n H_n-\sum_{j=1}^{n-1} \frac{j}{j+1} = n H_n - (n-1)+\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{j+1}\\&=& n H_n-n+1+(H_n-1) = (n+1)\,H_n-n\tag{1}\end{eqnarray*} $$ por lo tanto: $$\begin{eqnarray*}\color{red}{\sum_{j=1}^n H_j^2} &=& \left((n+1)H_n^2-nH_n\right)-\sum_{j=1}^{n-1}\frac{(j+1)\,H_j-j}{j+1}\\&=&\left((n+1)H_n^2-nH_n\right)-\sum_{j=1}^{n-1}H_j+(n-1)-(H_n-1)\\&=&(n+1)\,H_n^2-nH_n-(n+1)\,H_n+n+H_n+(n-1)-H_n+1\\&=&\color{red}{(n+1)\,H_n^2-(2n+1)\,H_n+2n\phantom{\sum_{j=0}^{+\infty}}}.\tag{2}\end{eqnarray*}$$ Aviso de la profunda analogía con: $$\int \log^2 x\,dx = x\log^2 x -2x\log x +2x.$$