La resolución de una pregunta acerca de la inclusión principio de exclusión de

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Hay $50$ a los estudiantes en una clase que se da una prueba con $3$ a las preguntas: $Q_1$, $Q_2$, y $Q_3$. Todos los estudiantes contestan en menos $1$ pregunta. Si $12$ de los estudiantes no respondió $Q_1$, $14$ no respuesta $Q_2$, $10$ no respuesta $Q_3$ $25$ respondió todas las $3$ preguntas, entonces ¿cuántos estudiantes respondieron exactamente $1$ pregunta?

Así que definen $3$ define como tal:

• Los estudiantes que respondieron a $Q_1 = A$
• Los estudiantes que respondieron a $Q_2 = B$
• Los estudiantes que respondieron a $Q_3 = C$

Me da lo siguiente:

• $|A \cup B \cup C| = 50$
• $|B \cup C \cap A^c| = 12$ (Los estudiantes que no respondieron a $Q_1$)
• $|A \cup C \cap B^c| = 14$ (Los estudiantes que no respondieron a $Q_2$)
• $|A \cup B \cap C^c)| = 10$ (Los estudiantes que no respondieron a $Q_3$)
• $|A \cap B \cap C| = 25$ (A los estudiantes que respondieron a todas las $3$)

El principio de Inclusión-Exclusión, establece que: $$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|$$

Sustituyendo los valores sabe:

$$50 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + 25$$

O $$25 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C|$$

Pero ahora estoy atascado debido a que la instrucción anterior no me dan ninguna información acerca de los estudiantes que respondieron exactamente 1 pregunta.

¿Cómo puedo seguir adelante o donde ¿qué hice mal? No quiero saber la respuesta, sólo quiero saber cómo proceder.

Desde que me quedé atrapado allí me fui por delante y definidas $3$ más juegos:

• Los estudiantes que respondieron exactamente $1$ pregunta = $D$
• Los estudiantes que respondieron exactamente $2$ preguntas = $E$
• Los estudiantes que respondieron exactamente $3$ preguntas = $F$

Sé que $|F| = 25$

y $|D \cup E \cup F| = 50$

Pero ahora estoy atascado otra vez...

Answer 1

Me gustaría precisar @turkeyhundt del método, que es básicamente lo que ha comenzado a escribir. He aquí un diagrama de Venn para aclarar qué variable voy a asignar a la pregunta:

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Los que tenemos la siguiente:

$$a+b+c + x+y+z=25$$

$$b+c+z=12$$

$$a+c+x=14$$

$$a+b+y=10$$

Estamos tratando de encontrar $a+b+c$. Si añadimos la segunda, tercera y cuarta ecuaciones anteriores obtenemos

$$2a+2b+2c+x+y+z=36$$

Restando la primera ecuación anterior nos da el resultado deseado

$$a+b+c = \boxed{11}$$

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Observe que no es posible encontrar los valores individuales de $a$, $b$, y $c$, pero también no es necesario que en el fin de resolver el problema.

Answer 2

25 a los alumnos a responder las tres preguntas por lo tanto 25 estudiantes contestaron a una o dos preguntas, ya que ningún estudiante no responder a cualquier pregunta. Pero sabemos que hay 12 + 14 + 10 = 36 preguntas sin respuesta en total. De ahí que 11 de los 25 estudiantes no responder a las dos preguntas, como 25 + 11 = 36.

Por lo tanto, 11 contestado una pregunta; 25 - 11 = 14 respondieron dos preguntas.

Answer 3

Puede configurar el 7 de ecuaciones lineales. Vamos a dejar "Un solo" = un

B = b

C = c

A y B = x

B y C = z

C y Un solo = s

entonces

$b+c+z=12$

$a+x+y=13$

$a+y+c=14$

$b+x+z=11$

$a+x+b=10$

$y+c+z=15$

$a+b+c+x+y+z=25$