Es cierto que $\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\setminus\cap_{n=N}^{\infty}A_{n}=\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\triangle A_{n+1}$?

Question

Durante un examen, me han dicho que si $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ entonces para cualquier $N\in\mathbb{N}$ $$\limsup A_{n}\setminus\liminf A_{n}\subseteq\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\setminus\cap_{n=N}^{\infty}A_{n}=\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\triangle A_{n+1}$$

La igualdad como parte de mi declaración fue marcado como incorrecto, pero estoy teniendo dificultades para comprender si es realmente malo, y si puedo reemplazar $=$ con $\subseteq$ para corregirlo.

Mi argumento para la primera la primera de contención es la descripción de $\limsup A_{n},\liminf A_{n}$ como el conjunto de todos los elementos de los conjuntos que están en el infinito número de conjuntos y como los que no lo son en un número finito de los $A_{n}$ .

Para la segunda parte, traté de entender lo que es $$(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$$ y el uso de un diagrama en el que tengo que es $$(A\cup B\cup C)\setminus(A\cap B\cap C)$$ así que pensé que puede deducir la igualdad para el caso infinito así, aunque no puedo demostrarlo formalmente.

Es cierto que $$\limsup A_{n}\setminus\liminf A_{n}\subseteq\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\setminus\cap_{n=N}^{\infty}A_{n}=\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\triangle A_{n+1} ?$$ o al menos eso $$\limsup A_{n}\setminus\liminf A_{n}\subseteq\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\setminus\cap_{n=N}^{\infty}A_{n}\subseteq\cup_{n=N}^{\infty}A_{n}\triangle A_{n+1} ?$$

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Usted está preguntando acerca de la relación entre los conjuntos de $L=\bigcup\limits_{n=N}^{\infty}A_{n}\setminus\bigcap\limits_{n=N}^{\infty}A_{n}$$R=\bigcup\limits_{n=N}^{\infty}A_{n}\triangle A_{n+1}$. (Las letras $L$ $R$ soporte para LHS y RHS de su en su propuesta de la igualdad.)

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$\boxed{L\subseteq R}$

Si $x\in L$, esto sin duda implica que $x\in A_n$ algunos $n\ge N$. Deje $n_0$ ser el entero más pequeño con las propiedades de $x\in A_{n_0}$$n_0\ge N$.

Si $n_0>N$ $x\notin A_{n_0-1}$ e lo $x\in A_{n_0}\triangle A_{n_0-1}$, lo que significa que $x\in R$.

La otra posibilidad es que el $n_0=N$. Existe al menos una $n$ tal que $x\notin A_n$ (desde $x\notin \bigcap\limits_{n=N}^{\infty}A_{n}$). Ahora denotamos por a $n_1$ el entero más pequeño tal que $x\notin A_{n_1}$$n_1\ge N$. (Ya sabemos que, en este caso, $n_1>n_0=N$.) Así que tenemos $x\in A_{n_1}\triangle A_{n_1-1}$ y, de nuevo, $x\in R$.

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$\boxed{R\subseteq L}$

Si $x\in R$ $x\in A_n\triangle A_{n+1}=(A_n\setminus A_{n+1})\cup(A_{n+1}\setminus A_n)$ algunos $n\ge N$.

Si asumimos que el $x\in A_n\setminus A_{n+1}$ $x\in\bigcup\limits_{n=N}^{\infty}A_{n}$ (desde $x\in A_n$) y $x\notin \bigcap\limits_{n=N}^{\infty}A_{n}$ (desde $x\notin A_{n+1}$).

El caso de $x\in A_{n+1}\setminus A_n$ es similar.

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Acerca de límite superior y límite inferior:

Si recuerdo el de la definición de $\liminf$ $\limsup$ correctamente, tenemos $$\limsup A_n = \bigcap\limits_{N=1}^\infty \bigcup\limits_{n=N}^\infty A_n\\ \liminf A_n = \bigcup\limits_{N=1}^\infty \bigcap\limits_{n=N}^\infty A_n$$

Así que para cualquier fija $N_0$ $$\limsup A_n \setminus \liminf A_n = \left(\bigcap\limits_{N=1}^\infty \bigcup\limits_{n=N}^\infty A_n\right)\setminus\left(\bigcup\limits_{N=1}^\infty \bigcap\limits_{n=N}^\infty A_n\right)\subseteq \bigcup\limits_{n=N_0}^\infty A_n\setminus\left(\bigcup\limits_{N=1}^\infty \bigcap\limits_{n=N}^\infty A_n\right)\subseteq \bigcup\limits_{n=N_0}^\infty A_n \setminus \bigcap\limits_{n=N_0}^\infty A_n.$$