¿Por qué la transición de fase topológica no rompe ninguna simetría? ¿Simetría oculta?

Question

Esta pregunta puede ser superficial. Sin embargo, ¿por qué toda la gente dice esto sin una prueba? Al igual que la suposición de "variables ocultas" en la mecánica cuántica, ¿se puede refutar que no hay ninguna simetría oculta desconocida que se rompa realmente cuando se produce la llamada transición de fase topológica?

Answer 1

Para comprender la física pertinente a un nivel chapucero, quizá sólo necesites unos cuantos ejemplos. Sabes que un concepto se construye comúnmente por la forma en que te refieres a él junto con otros conceptos. La ruptura de la simetría suele dar lugar a la degeneración del estado fundamental y al orden de largo alcance. El campo de parámetros de orden le ayuda a identificar los sectores degenerados con las simetrías rotas por el orden. Y tal orden se refleja comúnmente por la función de correlación, por ejemplo, $C(\vec{r}_i,\vec{r}_j)=\langle \vec{S}(\vec{r}_i)\cdot\vec{S}(\vec{r}_j)\rangle$ . Así que deberías calcularlo.

• Transición Berezinsky-Kosterlitz-Thouless
  Consideremos el modelo cuántico XY $$\mathcal{H}=-\frac{1}{2C}\sum_i{\frac{\partial^2}{{\partial\theta_i}^2}}-J\sum_{\langle ij\rangle}{\cos{(\theta_i-\theta_j)}}$$ definido en un $d$ -y la temperatura no es demasiado elevada. Se puede expandir alrededor de $\langle\theta\rangle$ y proceder a la función de partición mediante el método de la integral de trayectoria.
  Entre otras cosas, obtendrá $\langle \cos{\theta}\rangle=\langle \sin{\theta}\rangle=0$ cuando $d$ es inferior a ciertas dimensiones críticas $d_c$ ( $d\le2,T>0$ y $d\le1,T=0$ ). Por lo tanto, el parámetro de orden es 0 y esto se llama Teorema de Mermin-Wagner . Y lo que es más importante, la función de correlación $C(\vec{r}_i-\vec{r}_j)$ muestra decaimiento de la ley de potencia en $d_c$ (longitud de correlación $\xi=\infty$ ) mientras que el límite de alta temperatura de este modelo sólo da decaimiento exponencial $$C(\vec{r}_i-\vec{r}_j)\sim\exp{\left[-\ln\left(\frac{2}{\beta J}\right)\left|\vec{r}_i-\vec{r}_j\right|\right]}.$$ Por lo tanto, es evidente que se produce una transición de fase de alta $T$ a bajo $T$ para $d=2$ escenario. Sin embargo, no tiene ningún parámetro de orden en la mano.
  Además, la versión clásica de este modelo puede mapearse en un modelo dual compuesto por DOFs de ondas de espín y un Gas de Coulomb 2D de vórtice DOF (defectos topológicos). La transición BKT se mapea en un transición metal-aislante .
  El DOF del modelo es muy simplista. Se trata, sin duda, de una transición de fase topológica sin ninguna simetría beraking.

• $\mathbb{Z}_2$ fliud topológico
  Este puede ser un ejemplo más "topológico". Ising ( $\mathbb{Z}_2$ ) en una red cuadrada viene definida por $$\mathcal{H}=-g\sum_{\vec{x},j}{\sigma_j^x(\vec{x})-\frac{1}{g}\sum_\vec{x}\sigma_1^z(\vec{x})\sigma_2^z(\vec{x}+e_1)\sigma_1^z(\vec{x}+e_2)\sigma_2^z(\vec{x})},$$ en el que $\sigma_j^{x/z}(\vec{x})$ es la matriz de Pauli definida en el enlace $(\vec{x},\vec{x}+\hat{e}_j)$ . Consideremos una fase de desconfinamiento ( $g<g_c$ ) en un toro geometría. El estado básico tiene $4$ -doble degeneración. En términos más generales, ha $4^q$ -para una superficie cerrada con $q$ asas (género). Simplemente siente la topología :)
  En marcado contraste con la ruptura de simetría ordinaria antes mencionada, en la que los sectores degenerados no tienen ni idea de topología aquí en la transición de la fase confinada ( $g>g_c$ ) a la fase desconfinada, nada se asocia a la ruptura espontánea de cualquier simetría. Es decir, la etiqueta que pegas a los sectores degenerados del estado de tierra está completamente cambiada de la simetría rota al índice topológico. Ningún parámetro local es capaz de distinguir la degeneración, excepto los operadores magnéticos de holonomía 't Hooft definidos en posibles bucles no contractibles.
  En una descripción más pintoresca, la fase desconfinada contiene "bucles eléctricos" proliferados hasta el punto de enrollarse alrededor de dos bucles no contractibles (grandes y no locales) de un toroide, mientras que el estado básico en la fase confinada es único y está dominado por "bucles eléctricos" típicamente cortos. Esto ya no suena exótico una vez que se recuerda que se trata de una teoría gauge, que normalmente puede tomar prestadas algunas jergas de $U(1)$ -electromagnetismo, por ejemplo, "eléctrico" y "magnético".

En cuanto a la débil faceta filosófica, más bien diría que podría redefinir la simetría incorporando cosas novedosas. La cuestión es qué física quieres extraer en el contexto. En los contextos anteriores, creo que no hay ambigüedad. La "variable oculta" ha sido falsada por pruebas experimentales de varias desigualdades de Bell. Es bueno seguir discutiendo sobre las lagunas en ellas o lo que sea como hacen algunos investigadores serios. Nótese que más vale que sea en un nuevo estadio de comprensión. Véase este documento por el profesor Leggett, por ejemplo.