Cambio de base y producto interior en base no ortogonal

Question

Tengo un vector, originalmente expresado en el sistema de coordenadas estándar, y quiero realizar un cambio de base y encontrar coordenadas en otra base, siendo esta base no ortogonal.

• Sea $B = \{e_1, e_2\}$ sea la base estándar para $\Bbb R^2$ .
• Sea $B' = \{e_1', e_2'\}$ sea una base no ortogonal para $\Bbb R^2$ .
• Sea $v$ sea un vector en $\Bbb R^2$ .

El producto interior estándar es

$\langle a, b \rangle = \sum_{i=0}^n a_i b_i.$

Quiero definir un producto interno en la base no ortogonal $B'$ para que $\langle e_1', e_2' \rangle_{B'} = 0$ desde $\sum_{i=0}^n e_{1i}' e_{2i}' \neq 0$ .

Básicamente, quiero utilizar este nuevo producto interior para obtener la componente/coordenadas del vector $v$ sobre la base $B'$ .

Answer 1

Lo que quieres hacer es cambiar la base de los vectores con los que estás trabajando, y luego tomar el producto interior sobre eso. ya que $e_1', e_2'$ son una base para $\mathbb{R}^2$ cada vector $v$ = $v_1 e_1' + v_2 e_2'$ para valores únicos $v_1, v_2$ . A continuación, establezca $\langle v, w \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2$

Para encontrar un método explícito de convertir un vector a este nuevo sistema de coordenadas, busque en las matrices de cambio de base. if $e_1' = a_1 e_1 + a_2 e_2, e_2' = b_1 e_1 + b_2 e_2$ se toma la matriz con $$\left( \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array} \right)$$ y tomar su inversa. Entonces si $\langle v, w \rangle'$ es tu nuevo producto interior, tienes $\langle v, w \rangle'= \langle M^{-1}v, M^{-1}w \rangle$ .

Answer 2

Sean u,v vectores lin ind cualesquiera en el plano. Definir u.u=a>0,u.v=0=v.u,v.v=b>0. Extender esto linealmente para todos los pares de vectores. Se comprueba fácilmente que se trata de un producto interior.

Answer 3

Si escribe un $2\times 2$ matriz $P$ cuyas columnas están formadas por las coordenadas de $e'_1,e'_2$ en la base estándar, luego multiplicación (a la izquierda) por $P$ hace lo siguiente en términos de coordenadas. Si $x,y\in\Bbb R$ pueden interpretarse como coordenadas de un vector $v$ con respecto al nuevo base $e'_1,e'_2$ En otras palabras, se toma $v=xe'_1+ye'_2$ Entonces $\binom rs=P\binom xy$ da las coordenadas de $~v$ en el estándar base $e_1,e_2$ Eso es, $v=re_1+se_2$ . Para ver por qué esto es cierto, obsérvese que por definición de $~P$ es cierto cuando $(x,y)=(1,0)$ y también cuando $(x,y)=(0,1)$ (se obtiene $v=e'_1$ respectivamente $v=e'_2$ ); el caso general sigue ahora tomando combinaciones lineales de estos casos especiales.

Pero lo que quieres es lo contrario: quieres encontrar las coordenadas en la nueva base de un vector dado por sus coordenadas $\binom rs$ en la base estándar. Por lo tanto, es necesario calcular la matriz inversa $P^{-1}$ y el cambio de coordenadas deseado viene dado por (izquierda) mluitplicación por $~P^{-1}$ .

Nótese que ningún producto interno juega ningún papel al hacer el cambio de base.