Este post me hizo pensar acerca de esta cuestión. ¿Cuál es el criterio de número entero positivo $a,b$ de manera tal que,
$$ax^2+by^2 = z^2$$
pueden ser resueltos en los números enteros positivos $x,y,z$?
(Las tres grandes clases son: 1) $a =\square$; 2) $a+b = \square$; y 3) si la Pell-como eqn $z^2-by^2 = a$ es solucionable, pero supongo que debe haber un enfoque general. Esta es una pregunta básica que estoy seguro de que esto debe haber sido completamente contestado ya.)
Plaza de factores no importa, ya que pueden ser absorbidos en las otras dos variables. Por eso, $a,b$ son squarefree. En este punto, cualquier factor común sería imposible, así que tenemos $\gcd(a,b) = 1.$ Supongamos que, por alguna extraña prime $p|a,$ tenemos $(b|p) = 1;$ también, por alguna extraña prime $q|b,$ tenemos $(a|q) = 1;$, entonces existe un número entero solución a $a x^2 + b y^2 = z^2.$
No es suficiente sólo tener Jacobi símbolos $(a|b)= (b|a)=1$ cuando están compuesto (y extraño, supongo). $$ 5 x^2 + 21 y^2 = z^2 $$ no tiene entero de soluciones, debido a que $(5|3)= -1$ $(5|7)=-1.$
Estamos ignorando el primer $2.$ La capacidad de hacer esto es una gran teorema. Cualquier indefinido ternario, como $a x^2 + b y^2 - z^2,$ es anisotrópico en $\mathbb Q_r$ para un incluso número finito de números primos $r.$ Esta es la relación global de Hilbert Norma de Residuos símbolo, página 46 Racional de la Forma Cuadráticas por Cassels. Lema 3.4; estamos utilizando el hecho de que nuestro ternario es isotrópica en los números reales.
Así, algo con un $2$ en, $$ 14 x^2 + 11 y^2 = z^2. $$ There is a solution because $(14/11)= (3/11) = 1$ and $(11/7) = (4/7) = 1.$
La otra, con un $2$ en, $$ 206 x^2 + 107 y^2 = z^2. $$ There is a solution because $(107/103) = (4/103) = 1$ and $(206/107)=(103/107)(2/107)= -1 \cdot -1 = 1.$
De todos modos, páginas 80-82 en Cassels.
El par/impar cosa significa que si hay un problema con el primer $2,$ también habría un problema con una extraña prime.
En la página 82 de Cassels le da un explícito vinculado en una solución (si existe) con valores muy pequeños de $x,y,z,$ de sus coeficientes es $$ a x^2 + b y^2 + z^2 < 4ab, $ $ , que puede ser re-escrita como $$ z^2 < 2 a b.$$ This is a really good bound, the absolute value of $z$ no larger than $\sqrt 2$ times the geometric mean of $a,b.$ Para $ 206 x^2 + 107 y^2 = z^2 $ hay infinitamente muchas soluciones, incluyendo una infinidad de con $\gcd(x,y,z)=1,$ pero las satisfacciones de la envolvente son $(7,1,101),$ $(7,5,113),$ $(14,2,202).$
Probablemente soy el único defensor de este enfoque para la solución de Diophantine ecuaciones.
Prefiero entender por qué la solución es, en lugar de utilizar la aritmética modular. Especialmente para las complejas ecuaciones de la aritmética modular para uso no tiene ningún sentido. Y este enfoque permite a nosotros de inmediato para averiguar si hay una solución y escribir una fórmula directa para las soluciones de la ecuación. El significado es simple. Grabado ecuación:
$$aX^2+bXY+cY^2=jZ^2$$
Las soluciones pueden ser escritas si incluso una sola raíz.$\sqrt{j(a+b+c)}$ , $\sqrt{b^2 + 4a(j-c)}$ , $\sqrt{b^2+4c(j-a)}$ la solución es, si al menos una raíz de un todo.
A continuación, la solución se puede escribir.
En el caso de que la raíz de $\sqrt{j(a+b+c)}$ total.
$$X=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+$$
$$+2(b+2c)(\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j})sp+(j\mp \sqrt{j(a+b+c)})p^2$$
$$Y=(2j(2j-b-2a)(b+2c)-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+$$
$$+2((2j-2a-b)\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j(b+2c)})sp+(j\mp\sqrt{j(a+b+c)})p^2$$
$$Z=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(a+b+c\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+$$
$$+2(b+2c) ( \sqrt{j(a+b+c)} \mp{j})sp + ( a + b + c \mp \sqrt{j(a+b+c)})p^2 $$
En el caso de que la raíz de $\sqrt{b^2+4c(j-a)}$ total.
Las soluciones de la forma.
$$X=((2j-b-2c)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+$$
$$+2(4ac+b(2j-b)\pm{(2j-b-2c)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$$
$$Y=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(2j-b-2a\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+$$
$$+2(4ac+b(2j-b)\pm{(b+2a)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(2j-b-2a\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$$
$$Z=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+$$
$$+2(4ac+b(2j-b)\pm {(b+2a)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$$
En el caso de que la raíz de $\sqrt{b^2+4a(j-c)}$ total.
Las soluciones de la forma.
$$X=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(2j-2c-b\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+$$
$$+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{(b+2a)})ps+(2j-2c-b\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$$
$$Y=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(b+2a\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+$$
$$+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{(b+2a)})ps+(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$$
$$Z=j(a+b+c)(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})p^2+$$
$$+2((a+b+c)\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{j(b+2a)})ps+ (b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$$
Los detalles de estas ecuaciones es que alguna forma cuadrática es equivalente a la de los otros. Esto significa que si, por ejemplo, la raíz no es un número entero. Usted necesita encontrar el equivalente a una forma cuadrática en la que la raíz está intacto. Por lo general es suficiente para hacer el reemplazo de la $X\longrightarrow(X+kY)$ o $Y\longrightarrow(Y+kX)$ .
$p,s - $ cualquier enteros que especifican.
Para encontrar el equivalente formulario debe ser sustituido en la raíz y averiguar lo $k$ la raíz está intacto. Generalmente se reduce a la ecuación de Pell o representación de un número como suma de dos cuadrados. Si la respuesta es no puede ser visto de inmediato.
Sería interesante encontrar estas fórmulas contraejemplo, pero no lo he encontrado. Creo que porque realmente es una fórmula en General.
Aquí está un ejemplo con esta ecuación.
$$206X^2+107Y^2=Z^2$$
El uso de la primera fórmula cuando la raíz de un $\sqrt{j(a+b+c)}$ .
Para hacer esta sustitución. $X=x+6Y$ $(1)$
Obtenemos la ecuación: $206x^2+2472xY+7523Y^2=Z^2$
Esta ecuación según la primera fórmula se resuelve y resulta que la fórmula. A continuación, el uso de $(1)$ y de hacer los cortes en varios valores. obtenemos la fórmula final.
$$X=38213s^2-208ps-7p^2$$
$$Y=15965s^2+1442ps-p^2$$
$$Z=572783s^2+1442ps+101p^2$$
$$***$$
$$X=38213s^2+6ps-7p^2$$
$$Y=4841s^2+1442ps+p^2$$
$$Z=550741s^2+1442ps+101p^2$$
$s,p - $ enteros nos pidió.
Este enfoque nos permite inmediatamente escribe la fórmula. Así. Como queremos.
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