Variacional caracterización de curvatura?

Question

Considere la posibilidad de una superficie de $S$ sin problemas incrustado en $\mathbb{R}^3$. Clásicamente, la (de Riemann) de la curvatura de $S$ es descrito por la segunda forma fundamental, el cual es construido a partir de las derivadas parciales de un local de parametrización.

Como alternativa, hay un "buen" variacional de la caracterización de la superficie de curvatura? (E. g., uno que no depende de local parametrizaciones pero sólo en la métrica $g$.) En otras palabras, hay un escalar funcional cuya minimizer completamente describe la curvatura de Riemann?

Una idea que viene a la mente es que la curvatura de Riemann es la curvatura asociada con la de Levi-Civita de conexión, por lo tanto, usted podría tratar de construir un funcional sobre el conjunto de métricas conexiones en $(S,g)$ que penaliza a la torsión.

(Esta pregunta está motivada por discretos (por ejemplo, un modelo lineal por tramos o simplicial) geometría diferencial, donde el diferencial de las cantidades están bien definidas, pero métricas están disponibles las cantidades de todos modos.)

Answer 1

La curvatura es un local invariante. No hay tal cosa como la curvatura en un punto. La curvatura es descrito como un tensor, después de todo. Es diferente, por ejemplo, en geometría simpléctica, donde debido al teorema de Darboux todos simpléctica colectores de la misma dimensión que localmente symplectomorphic; un hecho que suele parafraseado como "no hay simpléctica curvatura". Esto probablemente significa que no hay ninguna "global invariantes" fórmula para la curvatura.

Como para la formulación variacional, una posible línea de enfoque sería establecer una acción funcional en los algebraica de los tensores de curvatura; es decir, las secciones de $S^2\Lambda^2T^*M$ que están en el núcleo de la Bianchi mapa

$$S^2\Lambda^2T^*M \to \Lambda^4T^*M$$

se cocinan en forma tal, que el de Euler-Lagrange las ecuaciones son el diferencial de las identidades de Bianchi, desde entonces, un tensor sería la de Riemann tensor de curvatura de la métrica que utiliza para definir la acción funcional y cuya Levi-Civita de conexión aparece en el de Euler-Lagrange las ecuaciones.

Su idea acerca de la acción funcional en el espacio de las conexiones es lo que generalmente se conoce con el nombre de la Palatini (o de primer orden), el formalismo, en GR. Es conveniente en acción funcionales para el tratamiento de la conenction y la soldadura de las formas como independiente de las cantidades y dejar de Euler-Lagrange las ecuaciones de imponer la torsión de la condición libre en la conexión.

Como un ejemplo típico, considere la posibilidad de la acción Palatini $$ \int_M R(e,\omega) \mathrm{dvol} $$ donde $R$ es formalmente el escalar de curvatura, pero escrita en términos de la soldadura de forma $e$ y la conexión de $\omega$. Si cambias la acción con respecto a las $e$ $\omega$ por separado, usted encontrar que $\omega$ no tiene torsión y que el $M$ es Ricci plana. A ver lo que la ganancia en este formalismo usted sólo tiene que contemplar el cálculo de Euler-Lagrange las ecuaciones de la acción de Einstein-Hilbert para el mismo Ricci-planitud de la condición, es decir, $$ \int_M R(e) \mathrm{dvol} $$ donde ahora la conexión está escrito explícitamente en términos de $e$.

Answer 2

Tome un círculo de radio $r$ sobre un punto de $p$ (métrica concepto). Calcular su circunferencia (métrica concepto). Compare $C(r)$ $2 \pi r$en el límite de como $r \to 0$ para obtener la curvatura $K(p)$$p$. Específicamente, $C(r) = 2 \pi [ r - (1/6) K(p) r^3 + ...]$. Hay una similar fórmulas que involucran el área de $A(r)$ del círculo.

No variacional, pero bastante métrica, y bastante independiente de la parametrización. Estas fórmulas se pueden encontrar en Spivak y muchos otros.d.g. textos.

Answer 3

Yo en particular, no entiendo cuál es el punto de tratar de caracterizar la curvatura como el punto crítico o mínimo de la función, así que permítanme responder a la pregunta de manera diferente.

La curvatura surge de manera natural como la segunda derivada de la energía funcional evaluado en un punto crítico de la siguiente manera:

• Revisión de dos puntos en un colector de Riemann y considerar los siguientes (estándar) de la energía funcional para curvas uniendo los dos puntos:

$E[\gamma] = \int_0^1 |\gamma'(t)|^2\,dt$

Tenga en cuenta que la estructura de Riemann se utiliza para definir la norma del vector de velocidad.

• Es bien sabido que los puntos críticos de $E$ son de velocidad constante geodesics

• También es bien sabido que si $\gamma$ es un punto crítico de $E$ $\gamma$ se deforma mediante un paralelo campo vectorial a lo largo de $\gamma$, luego de la segunda variación de $E$ es simplemente la integral a lo largo de $\gamma$ de la sección transversal de la curvatura de la evaluada en el $2$-plano atravesado por $\gamma'$, y la variación de $\gamma$.

Así seccionales de la curvatura de las medidas de una manera muy precisa cómo geodesics se comportan cuando variado infinitamente. Esta para mí es la más concreta, directa, y de forma útil para entender lo que la curvatura es.

EDIT: se ha Corregido la descripción de la segunda variación