Barrio de un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$

Question

Estoy teniendo problemas para mostrar la siguiente.

Deje $F \subset O \subset \mathbb{R}$ donde $F$ es cerrado y $O$ está abierto. Demostrar que existe un conjunto abierto $U$ tal que $F \subset U$$\bar{U} \subset O$.

Parece trivial, pero no puedo comenzar con esta pregunta. Puedo empezar con intervalos?

Answer 1

Cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ es una contables de la unión de distintos intervalos abiertos, de modo que usted puede comenzar analizando $F\subset O=(a,b)$$a<b$.

Ahora vamos a $a'=\inf F$$b'=\sup F$. A continuación,$a'> a$, de lo contrario $F$ no contener uno de sus acumulación de puntos, y de manera similar a $b'<b$.

Esto debería ser suficiente para ayudarle a encontrar su nuevo conjunto abierto $\bar{U}$.

(Tal vez no de inmediato a ir de este caso para el caso general, pero no creo que sea demasiado difícil)

Answer 2

Desde $O$ está abierto, para cada $x \in F \subset O$ existe $\varepsilon(x) > 0$ de manera tal que el balón $B_{\varepsilon(x)}(x)$ está contenido en $O$. A continuación, $U := \bigcup_{x \in F} B_{\varepsilon(x)/2}(x)$ satisface $F \subset U \subset \overline U \subset O$.