Preguntas sobre categorías trianguladas del libro de Neeman

Question

Lema 1.2.4 en la página 39 del libro de Neeman Categorías trianguladas estados:

Supongamos que nos dan un triángulo candidato $$X\rightarrow A\oplus Y\stackrel{\left(\begin{array}{cc}1&\alpha\\ \beta&\gamma \end{array}\right)}{\longrightarrow}A\oplus Z\rightarrow\Sigma X\ \ (*).$$ Entonces este triángulo candidato es isomorfo a una suma directa de triángulos candidatos $$0\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow0\ \ \ (**)$$ $$X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow\Sigma X\ \ (***).$$

La prueba dada en el libro es mostrando que hay mapas de triángulos candidatos $(**)\rightarrow(*)\rightarrow(**)$ que componen al mapa de identidad del triángulo candidato $(**)$ y ese triángulo candidato $(***)$ puede obtenerse como núcleo del mapa $(*)\rightarrow(**)$ por lo que es un sumando directo.

Preguntas. ¿Por qué es válida esta prueba? En particular: (1) ¿es cierto que si los morfismos $T\rightarrow W\rightarrow T$ en una categoría aditiva componen al morfismo identidad de $T$ entonces $T$ es un sumando directo de $W$ ? (2) ¿Es cierto que en una categoría aditiva si el núcleo de un morfismo $W\rightarrow T$ existe y $T$ es un sumando directo de $W$ entonces $W\cong\operatorname{ker}\oplus T$ ? (3) Por qué no utilizar una prueba más directa como la siguiente: se puede demostrar que $(**)$ es incluso un triángulo distinguido. Demuestre también que $(***)$ es un triángulo candidato. Entonces el mapa de identidad entre el triángulo candidato $(*)$ y suma directa de $(**)$ y $(***)$ es un isomorfismo y hemos terminado. ¿Hay algún problema con esta prueba?

Answer 1

(1) No es cierto en general, pero lo es aquí, por ...

(2) Sí, si por " $T$ es un sumando directo de $W$ ", quiere decir que el morfismo $W\to T$ es la proyección sobre un sumando directo.

Más concretamente, si $\varphi:W\to T$ es un morfismo con un núcleo, y existe otro morfismo $\psi:T\to W$ tal que $\varphi\circ\psi=\mbox{id}_T$ entonces el mapa natural $\ker(\varphi)\to W$ y $\psi$ inducen un isomorfismo $\ker(\varphi)\oplus T\cong W$ .

(3) El cuadrado del medio no conmutará si se toman los mapas de identidad (a menos que $\alpha=0=\beta$ ), por lo que no obtendrás un mapa de triángulos.