Deje $p$ ser impar el primer y $n \in \mathbb{N}$. Deje $a,b,c$ ser arbitraria de números enteros tales que a $ab \neq 0$. Escribimos $p^{\alpha}A = a$ $p^{\beta}B = B$ algunos $\alpha, \beta \in \mathbb{N}_0$ $A, B \in \mathbb{Z}$ son tales que $(AB,p)=1$. Además, suponemos que $c$ elegido es tal que $p^{\alpha} \mid c$.
Observar que \begin{align*} 4a(ax^2+bxy+cy^2) &= (2ax+by)^2 + (4ac-b^2)y^2\\ p^{\alpha}(ax^2+bxy+cy^2) &\equiv (4A)^{-1}(2ax+by)^2+(4A)^{-1}(4ac-b^2)y^2 \mod{p^n}. \end{align*}
Deje $X := 2p^{\alpha}Ax + by$ y deje $e(q):= e^{2\pi \imath q}$ para cualquier número racional $q$. A continuación, considere la posibilidad de la doble suma \begin{align*} \frac{1}{p^{2\alpha}}& \sum_{x,y=0}^{p^{n+\alpha}-1} e\left(\frac{p^{\alpha}(ax^2+bxy+cy^2)}{p^{n+\alpha}}\right)\\ &= \frac{1}{p^{2\alpha}}\sum_{y=0}^{p^{n+\alpha}-1} e\left(\frac{(4A)^{-1}(4ac-b^2)y^2}{p^{n+\alpha}}\right) \sum_{x=0}^{p^{n+\alpha}-1} e\left(\frac{(4A)^{-1}X^2}{p^{n+\alpha}}\right). \end{align*}
Se puede demostrar que si $\beta < \alpha$ \begin{align*} \sum_{x=0}^{p^{n+\alpha}-1} e\left(\frac{(4A)^{-1}X^2}{p^{n+\alpha}}\right) = 0. \end{align*}
Deje $R:= \mathbb{Z}/p^{n+\alpha}\mathbb{Z}$. De mi pregunta anterior (ver aquí), podemos definir un $R$-módulo endomorfismo $\phi: R \times R \rightarrow R \times R$$\phi(x,y) = (2p^{\alpha}Ax+by,y)$. En virtud de este endomorfismo, tenemos que $\phi(R \times R) \simeq \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z} \times R$.
Quiero ahora argumentan que \begin{align} \sum_{x=0}^{p^{n+\alpha}-1} e\left(\frac{(4A)^{-1}X^2}{p^{n+\alpha}}\right) = \sum_{X=0}^{p^{n+\alpha}-1} e\left(\frac{(4A)^{-1} p^{2\alpha}(2Ax+by)^2}{p^{n+\alpha}}\right). (1) \end{align}
Creo que tengo que usar el hecho de que $p^{\alpha}(2Ax)+by$ $R$- módulo y, a continuación, utilice el 1er y 3er teoremas de isomorfismo. No estoy seguro de cómo proceder, sin embargo. Puedo haber equivocado, pero creo que el $\phi$ es en un mapa, y los elementos de la primera componente $R$ obtendrá asignan a $\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$, y producirán $p^{\alpha}$ copias. Yo, básicamente, se necesita un argumento, de modo que puedo reemplazar el índice de $x$ $X$ en mi suma.
Puedo obtener mi resultado deseado considerando los dos casos $\alpha \leq \beta$$\alpha > \beta$, por lo que yo sé que (1) mantenga pulsado el botón (con la posibilidad de un cuadrado extra factor de $p^{2\alpha}$ falta). Pero estoy bastante seguro de que hay algunas inteligente manera de mostrar esto es el uso de las propiedades de $R$-módulo endomorphisms. Realmente me gustaría evitar la especificación de los casos de $\beta$.
Cualquier sugerencias de cosas para probar o las correcciones que sería realmente útil! Gracias!
