Si $3\mid a,b,c$$n=a^2+b^2+c^2$, demostrar que no existe $x,y,z$ tal que $n=x^2+y^2+z^2$ donde $3\nmid x,y,z$.

Question

Si $3\mid a,b,c$$n=a^2+b^2+c^2$, demostrar que no existe $x,y,z$ tal que $n=x^2+y^2+z^2$ donde $3\nmid x,y,z$. Aquí $n\in\mathbb N$, $a,b,c,x,y,z\in\mathbb Z$.

Este problema está indicado como:

Si un número natural $n$ puede ser expresada como una suma de $3$ de los cuadrados de los números enteros que sean divisibles por $3$, demostrar que puede ser expresada como una suma de $3$ de los cuadrados de los enteros que son no divisible por $3$.

No estoy seguro de si $0$ está incluido en el conjunto de los números naturales en este caso, pero vamos a suponer que es.

Así que he comprobado de divisibilidad por $9$ y no se contradice con la posibilidad. Divisibilidad por $3$ en este caso garantiza los mismos restos.

He probado marcando $a,b,c,x,y,z$ $3k,3l,3m,3d\pm1,3e\pm1,3f\pm1$ respectivamente. Esto nos permite trabajar con números enteros sin restricciones. Esto me lleva a esto: $$9k^2+9l^2+9m^2=9(d^2+e^2+f^2)\pm6d\pm6e\pm6f+3=n$$

Y ahora podemos demostrar que esta igualdad de $$9k^2+9l^2+9m^2=9(d^2+e^2+f^2)\pm6d\pm6e\pm6f+3$$

siempre se puede mantener cuando todas las variables son sólo números enteros.

Algunas de las ideas sería genial. Gracias.

Answer 1

Aquí hay algo que puede ser de ayuda, si todo lo demás falla.

Echa un vistazo a las páginas de 262-263 de Dickson de la Historia de la Teoría de los Números, vol. 2, donde la función de $\phi(m)$ es introducido. Se cuenta el número de "adecuada" a las representaciones de $m$ como suma de tres cuadrados, "correcto" lo que significa que no tienen ningún factor común. La fórmula

$$\phi(m)= \begin{cases} 24\sum_{s=1}^{[m/4]}\left({s\over m}\right),\text{ if }m\equiv1\pmod4\\ \\ 8\sum_{s=1}^{[m/2]}\left({s\over m}\right),\text{ if }m\equiv3\pmod4\\ \end{casos}$$

aparece en la página 263. Usted necesita algo a lo largo de las líneas de $\phi(9m)\gt0$ si $\phi(m)\gt0$.

Answer 2

Mira identidades como $$ a^2+b^2+c^2 = \begin{cases} \, (2m-a)^2+(2m-b)^2+(2m-c)^2, &\text{if } a+b+c=3m,\\[0.5em] \, (m-a)^2+(m-b)^2+(2m-c)^2, &\text{if } a+b+2c=3m, \\[0.5em] \, (2m-a)^2+(4m-b)^2+(4m-c)^2, &\text{if } a+2b+2c=9m. \end{casos} $$ El uso de esos (o identidades similares), puede, creo, encontrar todos los posibles residuos de $a,b,c \pmod{3}$.