Encontrar un entero cuarto grado de la raíz de una $3\times 3$ matriz

Question

Encontrar un $3 \times 3 $ matriz $X$ con coeficientes enteros tales que \begin{align*} X^{4} &= 3 \begin{bmatrix} 2 &-1 &-1 \\ -1 &2 &-1 \\ -1 &-1 &2 \end{bmatrix}. \end{align*}

Mi intento. Consideremos la matriz \begin{align*} A &= 3 \begin{bmatrix} 2 &-1 &-1 \\ -1 &2 &-1 \\ -1 &-1 &2 \end{bmatrix} \\ y= \begin{bmatrix} 6 &-3 &-3 \\ -3 &6 &-3 \\ -3 &-3 &6 \end{bmatrix} \end{align*} Calcular las raíces del polinomio característico, yo.e calcular el autoespacio $AZ=\lambda Z$, esto se da por la ecuación de sistema de $A-\lambda I=0$ donde $I$ $3 \times 3$ matriz identidad. \begin{align*} \begin{vmatrix} 6-\lambda & -3 & -3 \\ -3 & 6-\lambda & -3 \\ -3 & -3 & 6-\lambda \end{vmatrix} &= -\lambda \left( \lambda-9\right)^{2} \end{align*} Por lo tanto, el polinomio de la función, el cero $\lambda=9$ tiene multiplicidad $2$, e $\lambda=0$ tiene multiplicidad $1$ y estos valores son llamados los autovalores de la matriz $A$.

Necesitamos saber la dimensión del subespacio propio generado por este autovalor. Por lo tanto, resolver el sistema de $\left(A-3I\right)Z=0$ donde $Z^{T}=\left(x,y,z \right)$ con el fin de encontrar los vectores propios. (1) Por $\lambda =0$,$\left(A-3I\right)Z=0Z$. Por lo tanto, $x=y=z=0$. Por lo tanto, $v_{1}= \left(1,1,1\right)^{T}$ es un autovector correspondiente a $\lambda=0$.

(2) Por $\lambda=9$. A continuación, elegimos $x=0$, $y=1$, a continuación,$z=-1$. Por lo tanto, $v_{2}= \left(0,1,-1\right)^{T}$. También, elegir $x=1$, $y=-1$, a continuación,$z=0$, por lo tanto, $v_{3}= \left(1,-1,0\right)^{T}$. Además, $v_{2}$ $v_{3}$ son autovector correspondiente a $\lambda=9$.

Así, tenemos la matriz $S=\left[v_{1} \ v_{2} \ v_{3} \right]$. A continuación, \begin{align*} S &= \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 1 &1 &-1 \\ 1 &-1 &0 \end{bmatrix} \end{align*} y su inversa \begin{align*} S^{-1} &= \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix} \end{align*} Por lo tanto, $A=SJS^{-1}$, donde \begin{align*} J &= \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &9 &0 \\ 0 &0 &9 \end{bmatrix} \end{align*} donde $J$ es la forma canónica de Jordan de a $A$. Por lo tanto, $\displaystyle X=SJ^{1/4} S^{-1}$ \begin{align*} X&=SJ^{1/4}S^{-1} \\ A &= \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 1 &1 &-1 \\ 1 &-1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &9^{1/4} &0 \\ 0 &0 &9^{1/4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix}\\ \end{align*} Ahora, $9^{1/4}= \sqrt[]{3}, \ - \ \sqrt[]{3}, \ \sqrt[]{3} \ i$, e $\ - \ \sqrt[]{3} \ i$. Estos cuatro valores pueden ser utilizados, para $9^{1/4}$ y, en consecuencia, los valores de $X$ puede ser cambiado. Toda la combinación puede ser calculado para encontrar los valores de $X$.

\begin{align*} X&=SJ^{1/4}S^{-1} \\ A &= \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 1 &1 &-1 \\ 1 &-1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &\sqrt[]{3} &0 \\ 0 &0 &\sqrt[]{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix}\\ y=\begin{bmatrix} 2/\sqrt[]{3} & -1/\sqrt[]{3} & -1/\sqrt[]{3} \\ -1/\sqrt[]{3} & 2/\sqrt[]{3} & -1/\sqrt[]{3} \\ -1/\sqrt[]{3} & -1/\sqrt[]{3} & 2/\sqrt[]{3} \end{bmatrix} \end{align*} \begin{align*} X&=SJ^{1/4}S^{-1} \\ A &= \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 1 &1 &-1 \\ 1 &-1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &- \ \sqrt[]{3} &0 \\ 0 &0 &- \ \sqrt[]{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix}\\ y=\begin{bmatrix} -2/\sqrt[]{3} & 1/\sqrt[]{3} & 1/\sqrt[]{3} \\ 1/\sqrt[]{3} & -2/\sqrt[]{3} & 1/\sqrt[]{3} \\ 1/\sqrt[]{3} & 1/\sqrt[]{3} & -2/\sqrt[]{3} \end{bmatrix} \end{align*} \begin{align*} X&=SJ^{1/4}S^{-1} \\ A &= \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 1 &1 &-1 \\ 1 &-1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &\sqrt[]{3} \ i &0 \\ 0 &0 & \sqrt[]{3} \ i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix}\\ y=\begin{bmatrix} 2i/\sqrt[]{3} & -i/\sqrt[]{3} & -i/\sqrt[]{3} \\ -i/\sqrt[]{3} & 2i/\sqrt[]{3} &-i/\sqrt[]{3} \\ -i/\sqrt[]{3} & -i/\sqrt[]{3} & 2i/\sqrt[]{3} \end{bmatrix} \end{align*} \begin{align*} X&=SJ^{1/4}S^{-1} \\ A &= \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 1 &1 &-1 \\ 1 &-1 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 & - \ \sqrt[]{3} \ i &0 \\ 0 &0 & - \ \sqrt[]{3} \ i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix}\\ y=\begin{bmatrix} -2i/\sqrt[]{3} & i/\sqrt[]{3} & i/\sqrt[]{3} \\ i/\sqrt[]{3} & -2i/\sqrt[]{3} &i/\sqrt[]{3} \\ i/\sqrt[]{3} & i/\sqrt[]{3} & -2i/\sqrt[]{3} \end{bmatrix} \end{align*}

Sin embargo, se puede ver que no de $X$'s tiene coeficientes enteros. Alguna idea de donde me he equivocado en algo! Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Una idea es encontrar una matriz$A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&a&b\\0&c&d\end{pmatrix}$, lo que sería

1. dar $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ cuando se squared;
2. tiene elementos de entero después de ser multiplicado por $\begin{pmatrix}1/3&1/3&1/3\\1/3&1/3&-2/3\\2/3&-1/3&-1/3\end{pmatrix}$.

Estas declaraciones que llevan a las siguientes condiciones para $a$, $b$, $c$ y $d$: \begin{align} a^2+bc&=3,\\ b(a+d)&=0,\\ c(a+d)&=0,\\ d^2+bc&=3,\\ a+2b&=0 \mod 3,\\ a-b&=0 \mod 3,\\ c+2d&=0 \mod 3,\\ c-d&=0 \mod 3. \end{align} Si $a+d\ne0$$b=c=0$, y la matriz es diagonal, por lo que tiene para contener las raíces cuadradas de los $3$. Por eso, $a+d=0$. Tratando de algunos pequeños valores para las incógnitas, se me ocurrió $a=2$, $d=-2$, $b=-1$, $c=1$. Finalmente, la matriz $X$ es $$ X=SAS^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&0&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}. $$

La matriz $X$ no es el único. Hay unos cuantos pasos que se pueden hacer de otra manera. Primero, en lugar de $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ uno puede utilizar cualquier matriz cuadrada es igual a $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&9&0\\0&0&9\end{pmatrix}$, por ejemplo, $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-3&0\\0&0&-3\end{pmatrix}$ (sólo asegúrese de que tiene los dos valores propios del mismo signo, de lo contrario wouln sería capaz de encontrar la raíz cuadrada de la misma). Segundo, la condición 2 es un poco demasiado estricto. Te gustaría matriz $SAS^{-1}$ a ser entero, y la integralidad de la $AS^{-1}$ es una condición suficiente para que (en general no es necesario, aunque para nuestro caso lo es). En tercer lugar, hay múltiples soluciones para $a$, $b$, $c$, $d$ incluso para la lista de casos. Por ejemplo, $a=4$, $d=-4$, $b=13$, $c=-1$.

Answer 2

Aquí es otro enfoque. Deje $E_k$ $k\times k$ matriz de. Vamos a encontrar todos los enteros de la matriz de soluciones de $X^4=A:=3(3I_3-E_3)$.

Los autovalores de a$A$$0,9,9$. Por lo tanto, $X$ tiene una simple autovalor $0$ $\pm\sqrt{3},\pm i\sqrt{3}$ son la única posibilidad distinto de cero autovalores de a $X$. Sin embargo, como el polinomio característico de a $X$ tiene coeficientes enteros, el espectro de $X$ debe $\{0,\sqrt{3},-\sqrt{3}\}$ o $\{0,i\sqrt{3},-i\sqrt{3}\}$.

El polinomio característico de a $X$ por lo tanto $x^3\pm3x$. Por lo tanto $X^3=\pm3X$$3(3I_3-E_3)=A=X^4=\pm3X^2$. En consecuencia, debemos tener $$ X^2=\pm(3I_3-E_3).\la etiqueta{1} $$ Como $X$ deben compartir el mismo espacio nulo como $X^4=3I_3-E_3$, todas las sumas de fila y columna de sumas de $X$ son cero. Por lo tanto, si definimos $e=(1,1)^T$, $X$ debe ser en forma de $$ X=\pmatrix{P&Pe-\\ - e^TP&e^TPe}.\la etiqueta{2} $$ para algunos $2\times2$ matriz $P$. Así, tenemos que resolver $$ X^2=\pmatrix{P(I_2+E_2)P&-P(I_2+E_2)Pe\\ -e^TP(I_2+E_2)P&e^TP(I_2+E_2)Pe} =\pm(3I_3-E_3)=\pm\pmatrix{3I_2-E_2&-e\\ -e^T&2}. $$ Esto se reduce a la solución de $P(I+E)P = \pm(3I_2-E)$, es decir, $$ P\pmatrix{2&1\\ 1&2}P=\pm\pmatrix{2&-1\\ -1&2}.\la etiqueta{3} $$ En este punto, ya podemos obtener una solución obvia $P=\operatorname{diag}(1,-1)$, lo que se traduce de nuevo a $$ X=\pmatrix{1&0&-1\\ 0&-1&1\\ -1&1&0},\la etiqueta{4} $$ pero vamos a continuar nuestra búsqueda de otras soluciones. Tenga en cuenta que las dos constantes de matrices en $(3)$ tienen idéntico subespacios propios, así que es una buena idea para realizar un cambio de base. Deje $L=\pmatrix{1&1\\ 1&-1}$. A continuación,$L^{-1}=L/2$. Si definimos $Q=\pmatrix{a&b\\ c&d}:=LPL^{-1}$, luego $$ P=L^{-1}QL =\frac12\pmatrix{a+b+c+d + a-b+c-d\\ a+b-c+d)&a-b-c-d)}.\la etiqueta{5} $$ Considerando los valores de $(1,\pm1)P(1,\pm1)^T$, podemos ver que si $P$ es un número entero de la matriz, $a,b,c,d$ deben ser números enteros, y si $a,b,c,d$ son enteros, $P$ es un número entero de la matriz si y sólo si $a+b+c+d$ es incluso. También, por la conjugación por $L$ a ambos lados de $(3)$, obtenemos $$ Q\pmatrix{3&0\\ 0&1}Q=\pmatrix{3a^2+bc&(3a+d)b\\ (3a+d)c&3bc+d^2}=\pm\pmatrix{1&0\\ 0&3}.\la etiqueta{6} $$ Por lo tanto, todas las soluciones a $(3)$ están dadas por todos los números enteros $a,b,c,d$ tal que \begin{cases} a+b+c+d\text{ is even},\\ 3a^2+bc=\pm1,\\ 3a+d=0. \end{casos} Como $3a+d=0$, con la condición de que $a+b+c+d$ es incluso puede reducirse aún más a ese $b+c$ es incluso. Por lo tanto $b$ $c$ tienen la misma paridad. En resumen, todos los enteros de la matriz de soluciones a $(3)$ y, por tanto, a $(1)$ son dados por números enteros $a,b,c,d$ tal que \begin{cases} bc=\pm1-3a^2,\\ b,c \text{ have the same parity},\\ d=-3a. \end{casos}