Separabilidad del espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert (separable) de dimensión infinita, y $B(H)$ el espacio de operadores acotados en $H$ . Es $B(H)$ ¿separable en la topología de la norma del operador? ¿Y en las topologías de operadores fuertes y débiles? En estos últimos casos (que no son metrizables, ¿correcto?), ¿qué pasa con la segunda contabilidad?

Recuerdo haber oído que la respuesta a la primera pregunta era no, pero no veo por qué.

Answer 1

Esto es una respuesta sólo a la primera pregunta.

Desde $H$ es separable tiene una base ortonormal contable $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}$ . Ahora, para cada $\lambda\in\ell_\infty$ considerar el operador diagonal $T_\lambda:H\to H$ bien definidos por la igualdad $T_\lambda(e_n)=\lambda_n e_n$ . Es fácil comprobar que $$ T_{\alpha' \lambda'+\alpha''\lambda''}=\alpha'T_{\lambda'}+\alpha''T_{\lambda''} $$ $$ \Vert T_\lambda\Vert=\Vert \lambda\Vert_\infty. $$ para todos $\alpha',\alpha''\in\mathbb{C}$ y $\lambda',\lambda''\in\ell_\infty$ . Así, tenemos una inclusión isométrica $$ i:\ell_\infty\to\mathcal{B}(H):\lambda\to T_\lambda, $$ es decir, podemos considerar $\ell_\infty$ como subespacio de $\mathcal{B}(H)$ . Desde $\ell_\infty$ no es separable, entonces $\mathcal{B}(H)$ no puede ser también separable.

Answer 2

Pista para tu segunda pregunta: En la topología de operadores fuertes, los operadores de rango finito son densos en $B(H)$ .

Answer 3

Para la primera pregunta se puede considerar una base de Hilbert para $H$ y considerar el mapa $\Phi:l^{\infty}\to B(H)$ tal que $\Phi((a_i)_i)=T; \ Te_i=a_ie_i$ . Es una isometría.