¿Existen infinitos pares de positivo números racionales $x,y$ tal que $\sqrt{x^2+y^3}$ y $\sqrt{x^3+y^2}$ ¿son racionales?
Consideremos un par así. Entonces tenemos $x^2+y^3=a^2$ y $x^3+y^2=b^2$ para algunos racionales $a,b$ . Así que $(a^2-y^3)^3=x^6=(b^2-y^2)^2$ . ¿Conduce esto a algo útil?
Sí, hay infinitas soluciones en números enteros.
En particular, tenemos una solución con $y = 2x$ siempre que $x + 4$ y $8 x + 1$ son ambos cuadrados (es decir $x^2 + (2x)^3 = x^2 (1 + 8 x)$ y $(2x)^2 + x^3 = x^2 (4 + x)$ ). Si $x + 4 = u^2$ y $8 x + 1 = v^2$ eliminando $x$ nos da la ecuación $8 u^2 - 31 = v^2$ que es similar a una ecuación Pell. Una solución es $u = 2, v = 1$ y siempre que $\pmatrix{u\cr v}$ es una solución también lo es $ \pmatrix{3 & 1\cr 8 & 3\cr} \pmatrix{u\cr v}$ . Se obtiene la secuencia $$ \pmatrix{u\cr v\cr} = \pmatrix{2\cr 1\cr}, \pmatrix{7\cr 19\cr}, \pmatrix{40\cr 113\cr}, \ldots $$ correspondiente a $$ \pmatrix{x\cr y\cr} = \pmatrix{0\cr 0\cr}, \pmatrix{45\cr 90\cr}, \pmatrix{1596\cr 3192\cr}, \ldots $$
En general, si $y = \alpha x$ te llevaría a resolver la ecuación $\alpha^3u^2 + (1 - \alpha^5) = v^2$ . Una solución es $(\alpha,1)$ correspondiente a $(x,y) = (0,0)$ pero no sé si habrá otras soluciones en general.
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Es de suponer que no le interesan los casos en los que uno de $x$ y $y$ es $0$ y el otro es el cuadrado de un racional?
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@RobertIsrael Lo siento, quiero $x,y$ también sea positiva. Acabo de añadir eso.
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X = y = 3 es una posible solución.
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... y hay infinitas soluciones con $x=y$ a saber $x^2 + x^3$ es un cuadrado siempre que $x+1$ es un cuadrado. Pero dice diferente números racionales positivos $x,y$ .