Cómo demostrar que esta ecuación compleja que tiene 10 sin raíces reales y la forma de expresarlas

Question

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Hice la primera parte con éxito:

$$w^{12}=1= \cos 2\pi + i \sin 2\pi$$

$$w= \cos \frac{\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi k}{6}$$

Donde $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$

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He luchado con esto por mucho tiempo, sé que los dos raíces reales se $z=2$ $z=-2$

Pero, ¿cómo puedo probar y mostrar que se puede expresar como que. Por favor, ayudar.

Soy nuevo en estos tipos de preguntas

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Sólo sé cómo hacerlo cuando su algo como:

$$w^4=1$$

Donde hay un número $1$ o $-1$ y solo un lado de la ecuación. Porque entonces puedo escribir

$$w^4-1=0$$

$$(w-1)(w+1)(w^2+1)=0$$

Answer 1

Por la redacción de la segunda ecuación como $$\Bigl(\frac{z+2}{z}\Bigr)^{12}=1$$ se reduce a la primera. Por tanto, las soluciones son $$\frac{z+2}{z}=\cos\frac{k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}\tag{$*$}$$ para $k=0$ o $k=6$ o $k=\pm1,\pm2,\ldots,\pm5$. Ahora $k=0$ da $$\frac{z+2}{z}=1$$ que es imposible, y $k=6$ da $$\frac{z+2}{z}=-1$$ el que tiene la solución real $z=-1$. Así que esto deja a las diez de la no-soluciones reales. Usted puede encontrar desde $(*)$ y hacer un poco de simplificación en el uso de funciones trigonométricas para llegar a las respuestas posibles. Específicamente, resolver por $z$, racionalizar el denominador y el uso del medio ángulo fórmulas: $$\eqalign{z y=-\frac{2}{1-(\cos\frac{k\pi}{6}+\sin\frac{k\pi}{6})}\cr Y=-2\frac{(1-\cos\frac{k\pi}{6})+i\sin\frac{k\pi}{6}} {(1-\cos\frac{k\pi}{6})^2+(\el pecado\frac{k\pi}{6})^2}\cr &=\cdots\cr y=-\frac{(1-\cos\frac{k\pi}{6})+i\sin\frac{k\pi}{6}}{1-\cos\frac{k\pi}{6}} \cr Y=-1-i\frac{2\sin\frac{k\pi}{12}\cos\frac{k\pi}{12}}{2\sin^2\frac{k\pi}{12}} \ .\cr}$$ De hecho, si usted está familiarizado con exponenciales complejas puede escribir $(*)$ $$\frac{z+2}{z}=e^{k\pi i/6}$$ y el álgebra se vuelve mucho más fácil.

Comentario. Vale la pena una reflexión: como la real solución, se $11$ soluciones. Puede usted explicar por qué esto es así, cuando la ecuación original involucrados polinomios de grado $12$? ¿Por qué hay no $12$ soluciones?

Answer 2

SUGERENCIA:

Raíz Real $\implies\sin\dfrac{\pi k}6=0\iff \dfrac{\pi k}6=n\pi\iff k=6n$ donde $n$ es cualquier entero

Answer 3

Sugerencia:

Deje $w=1/z$. Entonces

$$(z+2)^{12}=z^{12}\implies (1+2w)^{12}=1$$