¿$\operatorname{Log}(1+i)^2 =2\operatorname{Log}(1+i)$

Question

Y del mismo modo, no $\operatorname{Log}(1-i)^2=2\operatorname{Log}(1-i)$?

Si estamos tratando con números reales, se iba a celebrar. Pero supongo que el hecho de que hay números imaginarios implicados cambia las cosas?

Answer 1

La función de $\mathrm{Log}$ es generalmente definida, de modo de ser continua en el $D=\mathbb C\setminus\mathbb R_-$. Cada punto de $z$ $D$ puede ser el único escrito como $z=r\mathrm e^{\mathrm it}$ $r$ $t$ real, $r\gt0$$|t|\lt\pi$,$\mathrm{Log}(z)=\log r+\mathrm it$.

Para la identidad de $\mathrm{Log}(z^2)=2\,\mathrm{Log}(z)$ a un complejo número de $z=r\mathrm e^{\mathrm it}$, la condición es que el camino de $\gamma$ definido en $[1,2]$ $\gamma(x)=\mathrm e^{\mathrm ixt}$ se queda en $D$. Uno fácilmente se ve que esto significa que $|t|\lt\pi/2$.

Si $z=1\pm\mathrm i$, $r=\sqrt2$ $t=\pm\pi/4$ por lo tanto $|t|\lt\pi/2$ y, de hecho, $\mathrm{Log}(z^2)=2\,\mathrm{Log}(z)$ mantiene.

Asimismo, para cada entero $n\geqslant1$, la identidad de $\mathrm{Log}(z^n)=n\,\mathrm{Log}(z)$ mantiene si $z=r\mathrm e^{\mathrm it}$$|t|\lt\pi/n$. Aún con $z=1\pm\mathrm i$, $\mathrm{Log}(z^3)=3\,\mathrm{Log}(z)$ sostiene, $\mathrm{Log}(z^4)$ es indefinido, y, para cada $n\geqslant5$, $\mathrm{Log}(z^n)$ no está definido (esto sucede cuando $n$$4+8\mathbb N$) o $\mathrm{Log}(z^n)\ne n\,\mathrm{Log}(z)$.

Las identidades $\mathrm{Log}(z^u)=u\,\mathrm{Log}(z)$ $u$ complejo todavía son otra historia.

Answer 2

No es fácil definir una buena noción de Logaritmo de los números complejos. El problema es, esencialmente, las siguientes: $\exp: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ es bijective pero esto no es cierto para $\exp: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} - \{0\}$. De hecho, usted tiene la conocida identidad $\exp(z) = \exp(z + 2i\pi)$.

Desde que desee $\log$ es una inversa de a $\exp$, tenemos problemas para definir. Usted puede lidiar con esto de tres maneras diferentes. En primer lugar, usted puede definir el logaritmo de ser un multi-función con valores; que se defina $\log(z)$ a ser el conjunto de TODOS los $w \in \mathbb{C}$ tal que $\exp(w) = z$. Si $w_0$ es una solución, entonces se $\log(z)$ es el conjunto $w_0 + 2\pi i \mathbb{Z}$. Una segunda manera de hacer las cosas es elegir una solución preferida de $\log(z)$. Escrito $z = \rho e^{i\theta}$, se definen $\log(z)$$\log(\rho) + i\theta$, la elección de $\theta$$[0, 2\pi[$. De esta manera, $\log$ es una auténtica función, pero no es continuo desde $\lim_{\theta \rightarrow 2\pi^-} (e^{i\theta})$$2i\pi$, mientras que de $\lim_{\theta \rightarrow 2\pi^+}$$0$.

La tercera manera en que definen $\log$ a ser una auténtica función con valores en el espacio, llamado una superficie de Riemann. Esta es la solución moderna utiliza para ver $\log$ como univalued función, que es también continua (e incluso holomorphic).

Respecto a su pregunta, ¿qué se puede decir de la general es el de $\log (a^b)$ $b \log(a)$ (con la segunda definición, con $b$ real) es que difieren de un múltiplo de $2i \pi$. En tu caso: $1 + i = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \pi/4}$$(1+i)^2 = \frac12 e^{i \pi/2}$, de modo que $\log((1+i)^2) = \log(1/2) + i\pi/2 = 2\log(1+i)$. Así que esto funciona con ESTA definición de logaritmo.

Pero la observación de que $1 = (-1)^2$ y $\log(1) = 0$, mientras que, en esta definición, $\log(-1) = i\pi$.

Answer 3

En general, $Ln(a^b)\neq bLn(a)$$\mathbb{C}$. Vea el siguiente ejemplo:

$Ln(e^i)=ln|e^i|+iArg(e^i)=i(1+2k\pi)$.

$iLn(e)=i[ln(e)+iArg(e)]=i-2k\pi$.

Así que cuando se trata con número complejo, se debe ser más cuidadoso.