¿Cuál es la razón para exigir que un campo sea un $\boldsymbol{non}$ - $\boldsymbol{trivial}$ ¿Anillo?

Question

El título lo dice todo.

Por supuesto, una respuesta (en mi opinión insatisfactoria) a estas preguntas es algo así como "una definición es una definición, y punto". En mi experiencia, las definiciones matemáticas rara vez son completamente arbitraria. Por lo tanto, me imagino que debe haber una buena razón para insistir en que un campo sea un no trivial anillo (entre otras cosas), pero no es obvio para mí. Me doy cuenta de que un anillo trivial haría un campo muy aburrido, pero también es un anillo y, sin embargo, no está desestimada como tal.

EDIT: He encontrado un pista de un fundamento en la afirmación de que "el anillo cero ... no se comporta como un campo finito", pero no pude encontrar en el fuente para esta afirmación exactamente cómo el anillo cero no se comporta como un campo finito.

Answer 1

Pienso en el requisito $0\neq1$ para los campos como consecuencia de los deseos de que (1) los campos sean dominios integrales y (2) los dominios integrales satisfagan $0\neq1$ . Por supuesto, eso sólo desplaza la pregunta a: ¿Por qué quiero que los dominios integrales tengan $0\neq1$ ? Ese deseo proviene de mi inclinación (bastante general) a tratar el conjunto vacío igual que otros conjuntos finitos. Esto es relevante: La cláusula clave en la definición de dominios integrales (además de los axiomas para anillos conmutativos con unidad) es que si $xy=0$ entonces $x=0$ o $y=0$ . Se deduce inmediatamente por inducción que, si un producto de $n\geq 2$ factores es $0$ entonces debe haber un $0$ entre esos factores. Lo mismo ocurre trivialmente para $n=1$ bajo la convención obvia de que el producto de un solo factor es ese factor. Así que me gustaría que se mantuviera también para $n=0$ . Ahora el producto de ningún factor es $1$ Así que lo que quiero es que, si $1=0$ , entonces hay un $0$ en el conjunto (vacío) de factores. Como no hay $0$ (o cualquier otra cosa) en el conjunto vacío, deduzco que $1\neq0$ .

(La misma idea subyacente explica por qué no considero que el número entero $1$ como primo y por qué quiero que los entramados tengan elementos superiores e inferiores).

Answer 2

Y Bourbaki dijo (Álgebra I, capítulo 1, §9, definición 1)

"Un anillo $K$ se llama campo si no está formado únicamente por $0$ y cada elemento no nulo de $K$ es invertible"

y los campos no consistían sólo en $0$ .

Bourbaki vio que los anillos eran buenos, y separó los campos de los otros anillos.
Llamó a los campos con multiplicación conmutativa "campos conmutativos" y a los no conmutativos los llamó "campos sesgados" .
Y había dominios y anillos de división: el primer día.

Edición: Para los malhechores, herejes, apóstatas, cismáticos, infieles y demás iconoclastas
Ya que su calaña podría no saberlo: esta respuesta fue vergonzosamente plagiada de las líneas 3,4,5 de este texto .

Answer 3

Buena pregunta, y no tengo una respuesta completa. Pero aquí hay una respuesta parcial.

Es un principio general que si podemos salirnos con la suya utilizando sólo identidades (es decir, ecuaciones universalmente cuantificadas), eso es genial, porque significa que terminamos con un variedad . Los axiomas de la teoría de los anillos entran en esta categoría, por lo que la categoría de los anillos se comporta muy bien.

En su defecto, si podemos salirnos con la suya utilizando sólo cuasi-identidades , que sigue siendo bastante grande, porque vamos a terminar con un cuasi-variedad . Por cuasi-identidad, me refiero a un axioma universalmente cuantificado de la siguiente forma, donde todas las letras griegas representan ecuaciones. $$\varphi_0 \wedge \cdots \wedge \varphi_{n-1} \rightarrow \psi$$

Semigrupos cancelativos entran en esta categoría, por lo que la categoría de semigrupos cancelativos también es bastante bonita.

Sin embargo, supongamos que realmente, realmente necesitan un OR lógico $(\vee)$ o la negación lógica $(\neg)$ para uno de nuestros axiomas. Esto ocurre, por ejemplo, con los dominios integrales; normalmente asumimos cualquiera de los siguientes.

1. $xy=0 \rightarrow x=0 \vee y=0$
2. $a=0 \vee (ax = ay \rightarrow x=y)$

También ocurre con los campos:

$$\forall x(x=0 \vee \exists y(xy=1))$$

De todos modos, la cuestión es ésta. Si necesitamos $\vee$ o $\neg$ para axiomatizar una clase de estructuras algebraicas, entonces también podemos incluir algunos axiomas de no-degeneración, como $0 \neq 1,$ porque francamente, nuestra categoría de modelos ya apesta, y unos cuantos axiomas más de no trivialidad no van a hacer que apeste más.

Creo que por eso los campos (dominios integrales, etc.) suelen tener axiomas de no trivialidad, mientras que los anillos (grupos, etc.) no.

Answer 4

El anillo cero no sólo no puede ser un campo, sino que ni siquiera puede ser un anillo local o un dominio integral. Si fuera una de esas cosas, el ideal $R\subset R$ tendría que ser primo para cualquier anillo conmutativo unital $R$ que es torpe y sin sentido, creando una dificultad innecesaria en todas partes.

Esta es más o menos la misma razón por la que $1$ no se considera un número primo.

Hay ventajas hipotéticas en un campo que incluye a todos los demás campos, pero éstas no se realizan en la práctica por el anillo cero. En un examen típico del " Campo con un elemento ", uno mira algo que no es un anillo en absoluto, como el monoide $(\{0,1\},\times)$ .

Answer 5

En cierto nivel, esto es sólo una extensión de la respuesta de vadim123. Una buena definición tiene tres propiedades

1. cubre una buena clase de "casos útiles"
2. puede utilizarse para demostrar teoremas interesantes y no triviales
3. tiene (con suerte) una motivación de alto nivel.

Considere la noción de campo. Ciertamente satisface 1 y 2 ( $\bar{\mathbf Q}$ , $\mathbf R$ , $\mathbf C$ , $\mathbf F_q\ldots$ son buenos ejemplos de 1, y la teoría de Galois es un buen ejemplo de 2). Ahora consideremos el 3. Nos gustaría que un campo fuera un "anillo conmutativo simple", es decir, un anillo para el que cualquier módulo es una suma directa de copias de irreducibles, y tal que sólo hay (hasta el isomorfismo) un irreducible. El anillo trivial cumple esto, pero consideremos las definiciones de "grupo simple" y "álgebra de Lie simple". No se permite que las álgebras de Lie simples sean triviales, y se supone tácitamente que los grupos simples no son triviales. En otras palabras, si vas a estudiar un campo $k$ quieres hacer cosas como..:

• Considere las variedades sobre $k$
• Mira las extensiones de Galois de $k$
• Hacer álgebra lineal sobre $k$

Para todos ellos, permitir que el anillo trivial sea un campo hace que la mayoría de los teoremas interesantes tengan un supuesto adicional " $k$ no es trivial".

Por ejemplo:

• queremos que haya realmente sea variedades no triviales sobre $k$
• o bien $k$ debe ser algebraicamente cerrado (lo que significa que se puede hacer geometría sobre él) o hay una aritmética interesante que proviene, por ejemplo, de las variedades abelianas sobre $k$
• queremos un teorema como: "el $K$ -de la categoría de espacios vectoriales sobre $k$ es $\mathbf Z$ "

Se podría decir que añadir la hipótesis de no trivialidad a la definición de un campo es arbitrario y ad-hoc, pero yo respondo que todo Las definiciones son (hasta cierto punto) arbitrarias y ad hoc. Los matemáticos se interesan por lo que interesante o útil teoremas que puedes demostrar, y generalmente sólo se interesan por definiciones "mejores" si a) hacen que los teoremas sean más limpios o b) hacen que las pruebas sean más agradables. Permitir que el anillo trivial sea un campo no logra ninguna de estas cosas.

Por último, hay que señalar que existe una teoría (no del todo rigurosa) de un "campo con un elemento", pero es mucho más sofisticado que decir simplemente "el campo con un elemento es el anillo trivial". Por ejemplo:

• Un espacio vectorial sobre $\mathbf F_1$ es un conjunto puntiagudo
• $\operatorname{GL}(n,\mathbf F_1)=S_n$
• La hipótesis de Riemann "debería" seguirse de considerar $\operatorname{Spec}(\mathbf Z)$ como una curva sobre $\mathbf F_1$ .

Nada de esto funciona si hacemos lo ingenuo y ponemos $\mathbf F_1=0$ .