Álgebra, conmutadores y funciones de prueba

Question

Estoy tratando de dar sentido al álgebra de los generadores del grupo conforme y me estoy encontrando con algunos problemas sobre cómo calcular los conmutadores.

Por ejemplo, para las traducciones de un "operador de prueba" $\phi(x)$ sabemos que $ \phi(x+a) = \phi(x) + a^\mu \partial_\mu \phi(x) + \cdots$ si simplemente expandimos a Taylor. Además, en la imagen de Heisenberg, también podemos escribir

$$ \exp(i a^\mu P_\mu) \; \phi(x) \; \exp(-i a^\mu P_\mu) = \phi(x) + i a^\mu [ P_\mu, \phi(x)] + \cdots $$

de lo que se deduce que $[P_\mu, \phi(x)] = -i \partial_\mu \phi(x)$ . ¿Por qué entonces decimos que $P_\mu = -i \partial_\mu$ ¿es el generador de la traducción? A partir de la definición anterior, la igualdad no se cumple directamente ya que hemos utilizado un conmutador para definir $P_\mu$ de la acción de $\phi(x)$ pero la mecánica cuántica introductoria nos enseña que $P_\mu = -i \partial_\mu$ . Mi problema parece ser que no puedo conciliar esto con conceptos teóricos de grupo rigurosos.

Lo que hizo surgir esta confusión fue el cálculo de los conmutadores de los generadores del álgebra para el grupo conforme. Por ejemplo, tomando $D$ para ser el generador de dilataciones, para demostrar que $[D, P_\mu] = i P_\mu$ se necesita aplicar el conmutador $[D, P_\mu]$ en una función de prueba $\phi(x)$ exterior del conmutador después de sustituir el $D$ y $P_\mu$ por su definición diferencial. Entonces, ¿cómo pasamos de $[P_\mu, \phi(x)] = -i \partial_\mu \phi(x)$ a $P_\mu = - i\partial_\mu$ donde la igualdad tiene sentido?

Answer 1

No tengo tiempo para dar una respuesta completa, pero lo esencial es, $P_\mu = -i \partial_\mu$ no es cierto para los campos cuánticos de los que hablas. Este documento puede ser de ayuda: http://arxiv.org/pdf/hep-th/0206008.pdf

Answer 2

La cuestión aquí es que hay dos distinto acciones del grupo de traducción sobre los campos presentes en sus cálculos.

Definiciones de las acciones del grupo.

Las dos acciones de grupo a las que me refiero son las siguientes. Para simplificar el concepto, dejemos que $\phi$ denotan un campo valorado por el operador definido en $\mathbb R$ La generalización a dimensiones superiores es sencilla. Sea $\mathcal H$ denotan el espacio de Hilbert de la teoría, entonces suponemos (al menos en las teorías para las que queremos hablar de invariancia de traslación) que existe una representación unitaria $\hat U$ del grupo de traducción de $\mathbb R$ actuando en el espacio de Hilbert.

Esta representación unitaria induce entonces una acción $\rho_1$ del grupo de traslación que actúa sobre los campos de la siguiente manera: \begin{align} (\rho_1(a)\hat \phi)(x) = \hat U(a)\hat\phi(x)\hat U(a)^{-1}. \tag{1} \end{align} Por otro lado, podemos definir una segunda acción del grupo de traslación que actúa sobre los campos como sigue: \begin{align} (\rho_2(a)\hat \phi)(x) = \hat \phi(x-a) \tag{2} \end{align}

Generadores infinitesimales.

Cada una de las acciones de grupo anteriores posee un generador infinitesimal.

Para determinar lo que es para $\rho_1$ escribimos $\hat U(a) = e^{-ia\hat P}$ para que $\hat P$ es el generador infinitesimal de $\hat U$ y observamos que si ampliamos el lado derecho de $(1)$ en $a$ tenemos \begin{align} \hat U(a)\hat\phi(x)\hat U(a)^{-1} &= (\hat I - ia\hat P)\hat \phi(x) (\hat I + ia\hat P) + O(a^2) \\ &= \hat \phi(x) + ia\hat\phi(x)\hat P - ia\hat\phi(x) \hat P + O(a^2) \\ &=\hat \phi(x) -ia\Big(\hat P\hat \phi(x)-\hat \phi(x) \hat P\Big) + O(a^2) \\ &= \hat\phi(x) -ia[\hat P,\hat \phi(x)] + O(a^2) \end{align} inspeccionando el término que es de primer orden en $a$ vemos inmediatamente que el operador \begin{align} \hat \phi(x) \mapsto [\hat P,\hat \phi(x)] \end{align} es el generador infinitesimal de la primera acción de grupo $\rho_1$ . Resulta, por cierto, que este operador tiene un nombre especial: el operador adjunto, y se suele denotar $\mathrm{ad}_{\hat P}$ . En definitiva, vemos que $\mathrm{ad}_{\hat P}$ es el generador infinitesimal de $\rho_1$ ya que hemos demostrado que \begin{align} (\rho_1(a)\hat \phi)(x) = \big(\hat I -ia \,\mathrm{ad}_{\hat P} + O(a^2)\big)\hat\phi(x) \end{align} Como apunte, todo esto está íntimamente relacionado con el llamado Lemma de Hadamard para la Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff .

Para determinar el generador infinitesimal para $\rho_2$ ampliamos el lado derecho de $(2)$ en $a$ utilizando la fórmula de Taylor para obtener \begin{align} \hat\phi(x+a) &= \hat \phi(x) - a \partial\phi(x) + O(a^2) \\ &= \left(1-ia(-i\partial) + O(a^2)\right)\hat\phi(x) \\ \end{align} para que el generador infinitesimal de la acción del grupo $\rho_2$ es $-i\partial$ . Podemos resumir estos resultados como sigue. Llamemos al generador infinitesimal de $\rho_1$ $P_1$ y el generador infinitesimal de $\rho_2$ $P_2$ entonces hemos demostrado que \begin{align} P_1 = \mathrm{ad}_{\hat P}, \qquad P_2 = -i\partial \end{align} Nótese, en particular, que no se trata de los mismos objetos matemáticos.

Campos que se transforman de manera especial bajo las traslaciones.

Aunque las acciones del grupo $\rho_1$ y $\rho_2$ son distintos y tienen generadores distintos, a veces ocurre en la teoría de campos que se consideran campos $\hat \phi$ que se transforman de la siguiente manera: \begin{align} \hat U(a)\hat\phi(x) \hat U(a)^{-1} = \hat\phi(x-a). \end{align} Obsérvese que la parte izquierda de esto es sólo la acción de $\rho_1$ en $\hat\phi$ y el lado derecho es la acción de $\rho_2$ en $\hat\phi$ por lo que para esta clase especial de campos, ¡las dos acciones de grupo coinciden! En este caso especial, también se deduce que los generadores infinitesimales de $\rho_1$ y $\rho_2$ acordar estos campos especiales; \begin{align} P_1 \hat\phi(x) = P_2\hat\phi(x), \end{align} o más explícitamente \begin{align} \mathrm{ad}_{\hat P}\hat\phi(x) = -i\partial\hat\phi(x). \end{align}