Preguntas acerca de Riemann, de reordenación del teorema de

Question

Recientemente he aprendido acerca de Riemann, de reordenación del teorema, y tengo algunas preguntas sobre el teorema.

Vamos $$\sum a_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots$$ be conditionally convergent. If we switch two of the terms, for example $a_2$ and $a_3$, we get the new series $$a_1+a_3+a_2+a_4+\cdots.$$ Tanto el nuevo y el viejo de la serie tienen la misma suma, y este será el caso, no importa que los dos términos que cambiar. Entonces mi (obviamente mal) afirman que es este: Un rearrangment es sólo repite la conmutación de los términos.

¿Por qué es que mi reclamo es malo? Me imagino que tiene algo que ver con el hecho de que para muchos de los reordenamientos uno tiene que cambiar dos términos infinitamente muchas veces. Si ese es el caso, supongo que uno puede hacer cualquier cantidad finita de conmutación sin alterar la suma. Es esto correcto?

Sé que era de Riemann quien primero demostró este teorema, pero no puedo encontrar donde y cuando. Hizo escribir un artículo sobre él, y si él lo hizo, ¿dónde puedo encontrar una copia de la misma?

También estoy agradecido por cualquier información relacionada que pueda ser de su interés.

Riemann, de reordenación del teorema: Si una infinita serie es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser dispuestos en una permutación por lo que la serie converge para cualquier valor dado, o incluso diverge. (Wikipedia)

Les agradezco a todos la ayuda.

Answer 1

A diferencia finita grupos simétricos, la infinita grupo simétrico $\text{Sym}(\mathbb{N})$ no es generado por la transposición. El problema es que una infinita composición de transposiciones no tiene sentido: considerar la composición de $(1 \; 2)$, seguido por $(2 \; 3)$, seguido por $(3 \; 4)$ y así sucesivamente hasta el infinito. ¿Dónde se $1$ ir? Así que sí, la reorganización sólo un número finito de términos necesariamente no afecta el valor de la serie, pero eso no implica nada sobre la reordenación de un número infinito de términos.

Answer 2

Me imagino que tiene algo que ver con el hecho de que para muchos de los reordenamientos uno tiene que cambiar dos términos infinitamente muchas veces. Si ese es el caso, supongo que uno puede hacer cualquier cantidad finita de conmutación sin alterar la suma. Es esto correcto?

Sí, sí y sí. El subgrupo de $\text{Aut}(\mathbb{N})$ generado por los relatos es el grupo de bijections que arreglar todo, pero un número finito de puntos. Hay countably muchos de esos bijections, pero una cantidad no numerable de bijections $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (ejercicio), por lo que este subgrupo no es todo el grupo.

Answer 3

El teorema aparece en el papel donde Riemann también se define la integral de Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Función durch eine trigonometrische Reihe. Es el comienzo de la sección 3 (la integral de la trata en la sección 4). Usted puede encontrar Riemann, obras completas, que está disponible gratuitamente en internet, por ejemplo aquí; véase p. 221 (que es la p. 236 en el archivo).