$M/x_nM$ finitamente generado sobre $ k[x_1,..., x_{n-1}] $ como módulo graduado

Question

Estoy intentando averiguar lo siguiente:

Sea $M$ sea un módulo graduado finitamente generado sobre $S=k[x_1,..., x_n]$ con clasificación estándar. Sea $K$ sea el núcleo de la multiplicación por $x_n$ en $M$ . A continuación, un texto que estoy leyendo afirma que $K$ y $M/x_nM$ se generan finitamente como $k [x_1,..., x_{n-1}]$ -módulos.

Aunque veo fácilmente que se generan finitamente sobre $S$ por noeterianidad de $S$ y por lo tanto $M$ me encantaría ver un argumento elegante de por qué se genera incluso finitamente sin $x_n$ . $ M $ ¡por supuesto no tiene por qué serlo!

Gracias

Answer 1

$K=\{z\in M:x_nz=0\}$ Así que $x_nK=0$ . También disponemos de $x_n(M/x_nM)=0$ . Es bien sabido y fácil de demostrar que si $I$ es un ideal en un anillo $R$ y $N$ un $R$ -(finitamente generado) tal que $IN=0$ entonces $N$ es un $R/I$ -(finitamente generado). Al final utilizaremos que $k[x_1,\dots,x_n]/(x_n)\simeq k[x_1,\dots,x_{n-1}]$ .