Deje $X$ ser un hyperelliptic curva definida por $y^2=h(x).$ Deje $\pi : X\to \mathbb{P}^1$ ser el doble que cubre mapa enviar a $(x,y)$$x$. Deje $\omega=\pi^{*}(dx/h(x)).$ Calcular div$(\omega)$.
Sé que div$(\omega)=\sum_{p\in X} Ord_p(\omega)p$. Creo que tengo que usar el siguiente lema, pero no sabe cómo manejar la hyperelliptic curva.
Lema 2.6. Supongamos que $F : X ->Y$ es un holomorphic mapa entre Riemann las superficies, y $\omega$ es un meromorphic 1-forma en $Y.$ Fijar un punto de $p\in X.$ $ord_p(F^{*}\omega) = (1 + ord_{F(p)}(\omega)) mult_p(F) - 1.$
Edit: La siguiente es del libro "las curvas Algebraicas y las superficies de Riemann" por R. Miranda.
Hyperelliptic Superficies de Riemann:Vamos a $h(x)$ ser un polinomio de grado $2g+ 1 + e,$ where $e$ is either 0 or 1, and assume that $h(x)$ tiene distintas raíces. Formulario el buen afín plano de la curva de $X$ por la ecuación de $y^2 = h(x).$
Tenga en cuenta que cualquier hyperelliptic superficie $Z$ definido por $y^2 = h(x)$ tiene un automor- automorphism $\sigma : Z -> Z,$ es decir $\sigma(x,y) = (x,-y).$
Tenga en cuenta que $\sigma$ es una involución, es decir, $\sigma\circ\sigma = id.$ Esta involución se llama la hyperelliptic involución en X. desplazamientos con el mapa de proyección $\pi: X -> C_{\infty}$ en el sentido de que $\pi \circ \sigma=\pi.$
Meromorphic Funciones en Hyperelliptic Superficies de Riemann: el Uso de el hyperelliptic involución $\sigma$, podemos describir todos los meromorphic funciones en un hyperelliptic superficie de Riemann $X,$ se define por una ecuación de $y^2 = h(x).$ Para cualquier función de meromorphic $f$ sobre X, la retirada de la función $\sigma*f = f\circ \sigma$ también meromorphic en $X,$ desde $\sigma$ es un holomorphic mapa. Desde $\sigma^2= id,$ la suma $f+ \sigma^{*}f$$\sigma^*$- invariante: $\sigma^*(f + \sigma^*f) = f + \sigma^*f. $ Ahora el ejemplo básico de una $\sigma^*$-invariante función es la que se tira de nuevo de $\mathbb{C}_{\infty}$. Esta es una función de $g$ de la forma $g = \pi^*r = r\circ \pi$ para algunos la función de meromorphic $r$ $\mathbb{C}_{\infty}.$
Alguna sugerencia? Gracias.
