Número de primos dentro de un número de longitud determinada

Question

Mi pregunta se explica más fácilmente con un ejemplo: Considere el número $n=1967$ . Contiene los números primos $7$ , $19$ , $67$ y $967$ ya que todos ellos son primos y se pueden encontrar en la expansión decimal de $1967$ . En cambio, la parte $196$ por ejemplo, no es primo.

Dado un número fijo de dígitos, $k$ digamos, qué se puede decir sobre el número máximo de primos que se puede encontrar en la expansión decimal de un $k$ -¿número de dígitos? Llamaré a este número $m(k)$ . El ejemplo anterior nos enseña entonces que $m(4)\ge 4$ .

Claramente, $m(k) \ge k$ Por ejemplo, considerando el número con dígito $3$ $k$ -veces. El mismo argumento muestra que $m(k+1)\ge m(k)+1$ . El número máximo de subnúmeros para un $k$ -El número de dígitos es $\frac{k(k+1)}{2}$ , así que trivialmente $m(k)\le \frac{k(k+1)}{2}$ .

Los primeros casos son: $$m(1)=1\ (e.g. n=3)\\ m(2)=3\ (e.g. n=23)\\ m(3)=6\ (e.g. n=373).$$

Answer 1

No sé cómo sobre el dígito ' $0$ ' utilizando (por ejemplo, $307$ : $3, 7$ , $\color{gray}{07}$ (???) y $307$ ).
Por lo tanto, todos los ejemplos que se presentan a continuación están sin este dígito.

Pocos límites con ejemplos:

$$\begin{array}{|c|c|c|l|} \hline k & m(k) & \frac{k(k+1)}{2} & examples \\ \hline 4 & 9 & 10 & ... \\ 5 & 13 & 15 & 31373, 37337 \\ 6 & 17 & 21 & 337397, 373373, 373379 \\ 7 & 22 & 28 & 3733797 \\ 8 & 26 & 36 & 37337397 \\ 9 & 30 & 45 & 113733797, 233133733, 373373977, 733133733 \\ 10 & 35 & 55 & 2113733797, 3733133733, 7331337337 \\ 11 & \ge 40 & 66 & 17331337337, 37331337337, 37337937337, 52379337397, ... \\ 12 & \ge 45 & 78 & 337331237337, 361373371973, 373312373373, 373313373379, ... \\ 13 & \ge 51 & 91 & 1117331337337, 3373312373373 \\ 14 & \ge 56 & 105 & 11173313373373, 31379719337397, 32917333739397, 33733123733739 \\ 15 & \ge 62 & 120 & 329173337393739, 337331237337397 \\ 16 & \ge 68 & 136 & 3291733373937397 \\ 17 & \ge 74 & 153 & 31973373312373373 \\ 18 & \ge 80 & 171 & 331973373312373373 \\ 19 & \ge 85 & 190 & 1373363733123733739, 1731373973373937397, 2331127997337337973, ... \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{array}$$

Para $k\ge 11$ la búsqueda no fue exhaustiva.

Answer 2

He hecho un script en python para comprobar si siempre se alcanza el límite superior natural. La respuesta parece ser no:

Respuesta (para cada $k$ de 1 a 5):

$[1, 3, 6, 9, 13]$

Límite superior natural (para cada $k$ de 1 a 5):

$[1, 3, 6, 10, 15]$