matriz de representaciones y polinomios

Question

Acabo de investigó la siguiente matriz y algunas de sus potencias inferiores a: $${\bf M} = \left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&1&1 \end{array}\right] , {\bf M}^2 = \left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 2&1&0&0\\ 3&2&1&0\\ 4&3&2&1 \end{array}\right], \\{\bf M}^3 = \left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 3&1&0&0\\ 6&3&1&0\\ 10&6&3&1 \end{array}\right] , {\bf M}^4 = \left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 4&1&0&0\\ 10&4&1&0\\ 20&10&4&1 \end{array}\right]$$

Como una función de los exponentes, índices (1,1) parecen ser constante 1, (2,1) parecen ser función lineal, (3,1) parecen ser la aritmética de la suma y el cuarto parece ser sumas de sumas aritméticas. Tengo algunas débil memoria que estos deben ser los polinomios de orden creciente (bueno, yo sé con seguridad hasta la media aritmética de la suma), pero me parece que no puede recordar lo que se llama o cómo calcularlas. ¿Tiene sentido hacer de regresión polinomial o es que uneccessary? Esto es seguir la línea de pensamiento de la representación de la matriz de generación de elemento para la parábola, tal vez usted puede ver lo que estoy golpeando lejos en.

Así que la pregunta es: ¿hay una manera fácil de combinar linealmente las primeras columnas de las matrices para generar los primeros 4 monomials? Siempre puedo hacer una regresión lineal con monomio funciones de base, pero que sería un poco tonto si esto ya es bien conocida la forma de hacerlo.

Answer 1

Tal vez no sea exactamente lo que usted está pidiendo, pero aviso de que su matriz es triangular inferior, y puede ser escrito como $M=I+N$, $I$ la identidad y de la $$\begin{equation} N=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0 \end{pmatrix}.\end{equation}$$

N es nihilpotent, $N^4=0$ y (obviamente) desplazamientos con $I$, por lo tanto $$\begin{equation} (I+N)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} N^i=\sum_{i=0}^3 \binom{n}{i} N^i, \end{equation}$$ por lo tanto, usted sólo necesita $N$, $N^2$ y $N^3$ para calcular cualquier potencia de $M$.

Answer 2

Estas son las diagonales del Triángulo de Pascal.

Answer 3

Podemos simplificar la TFG al enfoque y a ir más allá: vamos a $X$ ser la matriz

$$\left( \begin{matrix} 0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \end{matrix} \right)$$

Entonces

$$M = I + X + X^2 + X^3 = \sum_{k=0}^{\infty} X^k = (I - X)^{-1}$$

En consecuencia,

$$M^n = (I-X)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom {n}{k} (-X)^k = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} X^k = \sum_{k=0}^{3} \binom{n+k-1}{k} X^k$$

donde yo he utilizado la generalizada del teorema del Binomio y la fórmula para los coeficientes binomiales para enteros negativos.