Probar los componentes conectados son una cantidad no numerable de

Question

Deje $G$ un grafo con vértices de todos los puntos en $\mathbb{R}^2$. Una ventaja existe si y sólo si la distancia entre dos puntos es un número racional. Demostrar que los componentes conectados son una cantidad no numerable.

Answer 1

Creo que sólo hay un componente conectado de esta gráfica. Tomar cualquiera de los dos puntos $P$, $Q$ en $\mathbb{R{^2}}$. Si la distancia entre ellos es racional, entonces hay una arista conecta directamente a ellos. Si la distancia entre ellos es irracional, decir $d$, a continuación, elija un número racional, $r$, entre el$\frac{d}{2}$$d$. Dibujar círculos de radio $r$ alrededor de cada uno de $P$$Q$. Estos dos círculos se cortan en (al menos uno) punto de $S$. Hay un borde de $P$ $S$e de$Q$$S$, lo $P$ $Q$ están en la misma componente de la gráfica.