Solucionar $x^2+x+3=0$ mod $27$

Question

Me estaba preparando para mi Número de la clase de Teoría para el próximo semestre y una de las preguntas que se me ocurrió es resolver $x^2+x+3=0$ mod $27$. He visto aritmética modular antes, pero nunca uno que implicaba el uso de mod con una ecuación. He conectado en WolframAlpha y me dio $x=11,15$. Mi pregunta es, ¿cómo wolfram alpha solucionar esto? ¿Hay algún tipo de procedimiento? Mi primer intento fue el uso de la Fuerza Bruta y el enchufe en cada valor posible hasta que es divisible por 27 pero me gustaría ver cómo se resuelve.

Answer 1

No hay ningún daño en completar el cuadrado. Tenemos que $2^{-1}=-13$, lo $x^2+x+3=x^2-26x+3=0$ da $(x-13)^2+3-13^2=0$ o $(x-13)^2=4=2^2$. Esto significa que $(x-13)^2-2^2=0$, de modo que $(x-15)(x-11)=0$. Nota usted no puede realmente a la conclusión de $x-15=0$ o $x-11=0$ seguida, ya que no estamos trabajando a través de una integral de dominio.

AGREGAR Deje $p$ ser un extraño prime, $p\not\mid a$. A continuación, $x^2=a\mod p^k$ tiene más de dos (incongruente) soluciones.

P Supongamos $x^2\equiv x_0^2\mod p^k$. A continuación,$p^k\mid (x-x_0)(x+x_0)$. No podemos tener a $p$ dividir ambos $x-x_0,x+x_0$ esto significa decir $p\mid 2x_0$, lo cual es imposible. Por lo tanto $x= \pm x_0\mod p^k$.

Answer 2

Lo primero que se puede resolver la congruencia modulo $3$, lo que significa que $x\equiv 0 \mod 3$ o $x\equiv 2 \mod 3$. Así que muchos de los números de $\{0,1,\ldots, 26 \}$ puede ser descartado ya. Continuar con el modulo $9$ y el modulo $27$. A continuación, puede ver sin "fuerza bruta", que sólo $11$ $15$ son de izquierda.

Answer 3

Su ecuación es equivalente a la siguiente:
$$4x^2+4x+12\equiv0 \mod27$$ since $\mcd(4,27)=1$. Or $$(2x+1)^2+11\equiv0 \mod27$$ and even better $$(2x+1)^2-16\equiv0\mod27$$ which gives $27\a mediados de (2x-3)(2x+5)$. But $\gcd(2x-3,2 x+5)$ must be a divisor of $8$ which is relatively prime to $27$. So, $27|2x-3$ or $27| 2x+5$. The first case gives $x\equiv15$ and the second one gives $x\equiv11$ (mod27)

Answer 4

Sugerencia $\ $ Completar el cuadrado, el uso de ${\rm\, mod}\ 27\!:\ \color{#c00}1/2\equiv \color{#c00}{28}/2\equiv 14.\,$ Como Pedro muestra, este rendimientos $\rm (x-15)\,(x-11)\equiv 0,\,$ es decir $\,27\mid (x-15)(x-11).\,$, por lo tanto, $27\mid x-15\,$ (por lo $x\equiv 15)$ o $27\mid x-11\,$ (por lo $x\equiv 11),\,$ o $\,3\mid x-15,\ 3\mid x-11.$ El último caso es imposible, puesto que implica, modulo $3$,$x\equiv 15\equiv 0$$x\equiv 11\equiv 2$. Así que no hay más raíces además de a$15$$11$.

Comentario $\ $ Que no hay más de $2$ raíces no requieren prueba, ya que generalmente modular de ecuaciones de segundo grado puede tener más de $2$ raíces, por ejemplo, $\,x^2\equiv 1$ $4$ raíces $\pm1, \pm3$ modulo $8$.

El análisis sobre cómo los factores de $3$ debe distribuir en cada factor depende de la singularidad de primer factorizations.