Demuestre que la inclusión canónica $L^\infty L^1$ es continua pero no compacta. (un problema de análisis real)

Question

¿Te importaría darme algunas pistas (no toda la solución)?

Problema : Considere el espacio $L^p = L^p(0, 1),$ con $p [1, ].$ Demuestre que la inclusión canónica $L^\infty L^1$ es continua pero no compacta.

¿Es posible encontrar $p, q [1, ]$ con $p < q$ de manera que la inclusión $L^q \to L^p$ ¿es compacto?

Answer 1

Si un conjunto $C$ es compacto en $\mathbb L^p(0,1)$ entonces $$\lim_{h\to 0}\sup_{f\in C} \int_{(0,1)\cap (h,1-h) } \left\lvert f(x+h)-f(x)\right\rvert^p\mathrm dx=0.$$

Para refutar la compacidad, encontrar para cualquier $n$ un conjunto $A_n$ tal que $$\int_{\left (0,1-2^{-n}\right) } \left\lvert\mathbf 1_{A_n} \left (x+2^{-n} \right)-\mathbf 1_{A_n}(x)\right\rvert^p\mathrm dx\geqslant 1/2.$$ Por ejemplo, elija $A_n$ como una unión de $2^{n-1}$ intervalos de longitud $2^{-n}$ con una diferencia de $2^{-n}$ entre ellos.