Deje $T_n$ ser una secuencia de continuo lineal de operadores de una de Banach espacio de $X$ a una normativa espacio lineal $Y$. Ahora, para todos los $x \in X$, $\lim_{n \rightarrow \infty} T_n(x)$ existe en $Y$. Definir $T(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} T_n (x)$$X$. Mostrar que $$\|T\| \leq \liminf \|T_n\|.$$
Aquí está mi prueba:
La convergencia de $T_n(x)$ implica que para todos los $x \in X$, $\|T_n(x)\|\leq M_x$ para algunos $M_x$. El uniforme de acotamiento principio implica $T_n$ es uniformemente acotada, en particular, $\liminf \|T_n\| < \infty.$ Ahora para todos los $z \in X$ con $\|z\|=1$, $$\|T(z)\|=\lim \|T_n(z)\| \leq \liminf \|T_n\| \|z\| = \liminf \|T_n\|.$$
No estoy muy seguro acerca de que la última línea. ¿Cómo puedo mejorar esta prueba?
