¿Qué es $A\setminus U$ si $U$ es abierto y $A$ está cerrado?

Question

Mostrar que si $U$ es abierto y $A$ está cerrada, $U\setminus A = \{ x\in U : x\notin A \}$ está abierto. ¿Qué se puede decir acerca de la $A\setminus U$

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Yo no acababa de conseguir el porqué $U\setminus A = \{x\in U : x\notin A\}$ está abierto?

Si $x\in U$ $x\notin A$ no $U\setminus A$ con sólo ser $U$?

Ellos ni siquiera tienen el elemento común en el conjunto?

Cuando no tienen elementos comunes, no es $A\setminus U$ va a ser el mismo???

Gracias

Answer 1

Sugerencia: reescribir $U\setminus A=U\cap A^c$. Ahora si $A$ está cerrada, ¿qué significa eso para el complemento de $A^c$?

Answer 2

$U \setminus A$ es, en palabras, todos los elementos de a $U$ que no están elemento de $A$. Así que si $A$ $U$ fueron disjuntos, entonces este sería igual a $U$, pero ciertamente no en general. Si $A = X$ (donde $X$ es todo el espacio), entonces no hay elementos de $U$ no estaría elementos de $A$ y el conjunto vacío. Así que depende de la $A$.

Ahora $U \setminus A = U \cap (X \setminus A)$ (esto es inmediata a partir de la descripción de mi en palabras) y, a continuación, hemos escrito como la intersección finita de un conjunto abierto $U$ y el complemento de un conjunto cerrado $A$, por lo que otro conjunto abierto. Por lo que el resultado debe estar abierto.

Answer 3

Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto.

La intersección de dos conjuntos es abierto.