Demuestra que un logaritmo es irracional

Question

Estoy atascado con el siguiente problema:

Probar que $\log_{2} 3 \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} $ .

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que $\log_23$ es racional, es decir, $$\log_23=\frac{n}{m}$$ donde $m,n$ son enteros positivos.

Entonces, tenemos $$\log_23=\log_22^{\frac{n}{m}}\Rightarrow 3=2^{\frac nm}\Rightarrow 3^m=2^n.$$ Aquí, el lado izquierdo es impar y el lado derecho es par, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Dado que $$\log_2(3)=\frac{p}{q},$$ se obtiene: $$ 3 = 2^{p/q}$$ o: $$ 3^q = 2^p, $$ contradicción.