Mostrar que cada trivial solución a la ecuación diferencial tiene al menos un cero

Question

Mostrar que cada solución no trivial de la ecuación de $y''-e^{x}y=0$ puede tener a lo sumo un cero en el intervalo de $0<x<+\infty$.

Mi idea es comparar a la eq $y''-y=0$, a continuación, utilizar el Sturm Comparación Teorema, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Pida rafa11111, formulo mi comentario como respuesta.

Supongamos que una solución no trivial $\varphi$ $y'' - e^{x}y = 0$ $(-\infty, \infty)$ tiene más de un cero. (Nota: En mi comentario he utilizado el hecho de que los ceros son aislados, pero que no es necesario). Desde $\varphi$ es continuo, el conjunto de $\{x \in (-\infty, \infty): \varphi(x) \ne 0\}$ es un subconjunto abierto de $(-\infty, \infty)$, por lo tanto, un (a la mayoría) contable de la unión de pares distintos intervalos abiertos (a la realidad de la topología). Desde su complemento contiene al menos dos de sus miembros, debe ser $x_1 < x_2$ tal que $\varphi(x_1) = \varphi(x_2) = 0$ $\varphi(x) < 0$ (por ejemplo) para todos los $x \in (x_1, x_2)$. La función de $\varphi$ restringido al intervalo compacto $[x_1, x_2]$ alcanza su (negativo) mínimo en algún lugar de $(x_1, x_2)$, dicen en $x^*$. Pero $\varphi''(x^*) = e^{x^*} \varphi(x^*) < 0$, lo cual es imposible.